Приведем матрицу ортогонального ЦКП для
n=2, =1. Таблица № 2
N |
x |
1 |
x |
2 |
x |
x |
2 |
x |
|
x |
y |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|||
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
0.33 |
0.33 |
|
|||||
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
0.33 |
0.33 |
|
|||||
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
0.33 |
0.33 |
|
|||||
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
0.33 |
0.33 |
|
|||||
5 |
+ (+1) |
0 |
|
0 |
|
0.33 |
-0.67 |
|
|||
6 |
- (-1) |
0 |
|
0 |
|
0.33 |
-0.67 |
|
|||
7 |
0 |
+ (+1) |
|
0 |
|
-0.67 |
0.33 |
|
|||
8 |
0 |
- (-1) |
|
0 |
|
-0.67 |
0.33 |
|
|||
9 |
0 |
0 |
|
0 |
|
-0.67 |
-0.67 |
|
|||
Вычисляем по формуле (2):
x11 12 96 1 0.67 0.33
x51 1 96 0.33 x52 0 96 0.67
Для перехода к натуральным единицам пользуются формулой
|
|
|
x x |
0 |
|
|
|
X |
|
|
i i |
|
; x |
X |
x x 0 |
i |
xi |
|
|||||
|
|
|
i |
i |
i i |
||
|
|
|
|
|
|
|
Эта матрица ортогональна, т.к. x0 jxij2 0; xij2xuj2 0;
(j – номер опыта).
но не ротатабельна
Коэффициенты регрессии определяются по формулам:
b |
|
1 |
|
|
N |
|
|
y |
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
N j1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b |
j1 |
ij |
|
|
j |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
i |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
j ; |
|||||||||
b |
|
|
j1 |
ij |
|
uj |
|
||||||||||||||
iu |
|
|
|
|
N |
(x x )2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j1 |
|
ij |
|
uj |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
j |
|
|
|
||||||||
b |
|
j1 |
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Регрессионный анализ уравнения проводится по схеме,
приведенной ранее. Для расчета дисперсий при определении коэффициентов используют выражение :
S |
2b |
|
Sвоспр.2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nSbii |
|
|
|
|
||||||||||
S |
2 |
S 2b |
|
|
|
x |
2 |
; |
||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
ji |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
Sвоспр.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
S |
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
bi |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
ji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
|
2 |
|
|
|
|
Sвоспр.2 |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||
biu |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
ji |
|
ju |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S |
2 |
S 2воспр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
ji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b j ti Sbj
Коэффициент значим, если tj>tT(q,f2); f2 – число степеней свободы S2воспр. Заключительный этап – проверка на адекватность по
критерию Фишера.
Ротатабельные планы второго порядка.
Ротатабельные планы были предложены в 1957 году Боксом и Хантером. Этот метод планирования эксперимента позволяет получить более точное математическое описание поверхности отклика по сравнению с ортогональным ЦКП. Это достигается за счет увеличения число опытов в центре плана и специального выбора величины звездного плеча . Величину выбирают следующим образом:
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n<5 ПФЭ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
||
n
|
24 |
при n>5 ДФЭ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приведем некоторые значения и n0 |
для различного числа факторов n. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметр |
|
|
|
Количество факторов |
|
|
|
|
|||
|
плана. |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
5 |
6 |
6 |
7 |
7 |
|
|
Ядро |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
25-1 |
26 |
26-1 |
27 |
27-1 |
|
|
плана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.414 |
1.682 |
2.0 |
2.378 |
|
2.0 |
2.83 |
2.38 |
3.36 |
2.83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
6 |
15 |
9 |
21 |
14 |
|
Составим матрицу ротатабельного планирования второго порядка |
|
|
|
|||||||||||||
для n=2. |
|
n=2; =1.414, n0=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
n |
x |
|
x |
x |
х х |
2 |
x |
2 |
х |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
+ |
|
+ |
+ |
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
|
+ |
- |
- |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+ |
|
- |
+ |
- |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
+ |
|
- |
- |
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
+ |
|
+1.414 |
0 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
+ |
|
-1.414 |
0 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
+ |
|
0 |
+1.414 |
0 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
+ |
|
0 |
-1.414 |
0 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
+ |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
10 |
+ |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
+ |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
+ |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
+ |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица ротатабельного планирования второго порядка
неортогональна, т.к. |
N |
|
|
|
|
x |
x 2 |
0; |
|
|
|
|||
|
j1 |
0 j |
ij |
|
|
N |
x 2x 2 0; |
||
|
|
|||
|
j1 |
ij |
uj |
|
Формулы для расчета коэффициентов имеют вид:
b 2AB |
S B n 2 |
C n S |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
N |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ii |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
b |
C Si |
; |
|
|
b |
ji |
|
C2Sij |
|
; |
|
i j; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i |
N |
|
|
|
|
|
|
|
BN |
|
|
|
|
n |
|
||
b AC |
|
|
|
|
|
|
|
n C 1 B |
|
||||||||
S C B n 2 |
S |
||||||||||||||||
ii |
N |
|
|
ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
||
2BS0 ;
А, В, С – константы, которые определяются:
A |
|
1 |
|
|
|
|
2B n 2 B n ; |
||||||
B |
|
n N |
|
|
; |
|
|
|
N N |
|
|
||
|
n 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
N |
|
; |
N N |
0 |
||
|
|
|
n – число факторов; N – число опытов;
N0 – число опытов в центре плана.
По результатам эксперимента вычисляют суммы:
|
N |
|
S |
N |
|
y |
; |
i 1,...n; |
|
|
|
S y ; |
x |
|
|
|
|
||||||
0 |
j 1 |
j |
i |
j 1 |
ji |
j |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
; |
|
|
|
N |
|
y |
; |
S x x y |
|
|
S x2 |
|
|||||||
iu |
j 1 |
ij uj |
j |
|
|
|
ii |
j 1 |
ji |
j |
|
Оценки дисперсий в определении коэффициентов:
|
S |
2 |
|
|
|
2AB n 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
b |
|
|
|
N |
|
S воспр.; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S |
2b |
|
S2воспр. ; i 1,...n ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
N N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S |
2b |
|
|
C2S2воспр. ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
iu |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
S |
2b |
|
AC2S2воспр. B n 1 n 1 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ii |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициенты значимы, если |
|
|
bi |
|
S t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
э y |
|
|
|
|
|
|
bi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2воспр. N |
|
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
p |
|
|||||||||||||||||
S2ост. |
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
N |
|
n 2 n 1 |
N 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
|
|
N |
n 2 n 1 N 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ост. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проверку адекватности уравнения проводят по критерию Фишера.
После того, как получено уравнение регрессии второго порядка, адекватно описывающее почти стационарную область, его исследуют для выбора оптимальных условий технологического процесса. Полученное уравнение дает информацию о форме поверхности отклика.
Для изучения конфигурации поверхности отклика уравнение приводят к канонической форме (эллиптический параболоид, седло, и т.д.) и исследуют на локальный экстремум.