Пример. Объект исследования – реактор, в котором выход продукта y зависит от двух факторов: температуры в реакторе (x1) и давления (x2). Известно априори, что Т=100200; Р=10-20а, тогда 100 и 200, 10 и 20 – это два уровня, на которых варьируются
факторы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Верхний – 2000 и 20а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Нижний – 1000 и 10а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Основной нулевой уровень:150 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Основной уровень: |
|
|
|
|
max |
max |
|
|
min |
max |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
x2 |
x21 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
2 |
; |
||||
Интервалы варьирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
max |
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
x1 |
x1 |
|
|
200 100 |
50; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xmax xmin |
|
20 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X 2 |
|
2 |
2 |
|
|
5; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В координатах
X2
X2 20 max
x20 150
на плоскости это можно представить следующим образом:
|
|
|
План |
эксперимента |
указывает |
|
3 |
|
1 |
расположение n – мерном пространстве |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
опытных точек |
независимых переменных |
||
|
А |
|
или |
условия |
всех опытов, |
которые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
необходимо провести |
|
||
X2 min 10
4 |
150 |
2 |
X1 |
100 |
X1 |
200 |
X1 |
|
||||
min |
|
ma |
|
|
|
|
x |
|
|
При ПФЭ эксперимент ставится только на границе области, т.А – центр области. В большинстве случаев эксперимент задается в виде матрицы планирования – это план (таблица), каждая строчка который представляет собой условия опыта, а каждый столбец матрицы соответствует значениям переменных в различных опытах.
Составим матрицу планирования для предыдущего примера. |
|
||||
X -T=100-2000C имеем два фактора, |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
X -P=10-20а, следовательно N=2n=4. |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
Это ПФЭ типа 22: |
|
|
|
|
|
N |
X1 |
X2 |
|
y |
|
|
1 |
100 min |
10 min |
|
Y1 |
|
2 |
100 min |
20 max |
|
Y2 |
|
3 |
200 max |
10 min |
|
Y3 |
|
4 |
200 max |
20 max |
|
Y4 |
Матрица планирования для ПФЭ 22 – все возможные комбинации факторов на двух уровнях. Это матрица планирования в натуральном масштабе.
Матрица планирования составляется для того, чтобы эксперимент провести по определенному плану, определить значения выходного параметра в каждом опыте и построить статистическую модель.
При планировании первого порядка получают математическую модель вида:
ˆ |
|
b0 |
|
b1x1 |
|
b2x2 |
|
|
|
bnxn |
- Линейное уравнение |
y |
|
|
|
|
... |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КОДИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Для удобства расчетов, перейдем от натуральных координат (натуральных единиц измерения) к безразмерным. Формула перехода или кодирования имеет вид:
|
|
|
x |
x0 |
|
X |
|
|
i |
i |
, |
i |
|
|
|||
|
|
|
xi |
||
|
|
|
|
||
xi – значения (верхний или нижний уровень) натуральной переменной. xi0 - основной уровень натуральной переменной.
xi - интервал варьирования натуральной переменной.
Xi – кодированное значение i-го фактора (на верхнем или на нижнем уровне).
|
|
T=100-2000C |
|
|
P=10-20a |
||||
Перейдем от натуральных переменных к кодированным: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для температуры |
|
|
Для давления |
|||||
|
|
200 150 |
|
X |
в |
|
|
20 15 |
1; |
в |
|
|
2 |
5 |
|||||
X1 |
|
1; |
|
|
|
|
|||
50 |
X |
н |
10 15 |
1; |
|||||
н |
|
100 150 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
1; |
|
2 |
|
5 |
|
||
X1 |
|
|
|
|
|
||||
50 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фактически мы обозначили значения факторов на верхнем уровне +1, (200,20), а на нижнем (100, 10) - -1;
Это матрица планирования в безразмерном масштабе.
x0 – фиктивная переменная (+1), необходимое для вычисления свободного члена полинома.
|
N |
|
x0 |
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
|
+1 |
+1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
+1 |
-1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+1 |
|
-1 |
+1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+1 |
|
-1 |
-1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
x0 |
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
|
|
+ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+ |
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
+ |
|
|
- |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расположение опытных точек в факторном пространстве будет следующим:
|
х2 |
3(-1,1) |
1(1,1) |
(-1,1,-1)
|
х1 |
(0,0) |
4(-1,-1) |
2(1,-1) |
(-1-1,-1) |
|
(-1,1,1) |
|
(1,1,1) |
|
|
|
|
X2 |
X3 |
|
|
|
|
|
X1 |
(1,0,0) |
|
(-1,1,1) |
|
|
(1-1,-1)
СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ
1. ортогональность:
скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю:
N |
0; |
|
xui xji |
u j; u, i = 1,…,n |
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ
симметричность:
сумма элементов всех столбцов матрицы, кроме первого, равна нулю:
N
x 0, i 1 iu
u = 1,…,n
;
СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПЛАНИРОВАНИЯ
нормировка:
сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов
N
xiu2 N , u = 1,…,n;
i1
|
|
|
|
|
|
|
N |
x1 |
x2 |
x1x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- |
+ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
- |
- |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|