Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1315 вузов, 5362 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
свои люди в ТПУ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Политехнический Университет
Предмет:
Моделирование химико-технологических процессов
Файл:

Лекции / 2 Пассивн.эксп+ПФЭ

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.01.2026
Размер:
963.56 Кб
Скачать
☆

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Для оценки тесноты линейной зависимости между факторами рассчитывают

коэффициенты парной корреляции r по формуле:

 

 

x

x y

y

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

i 1 i

 

1 i

 

 

;

-1 r 1;

N 1 S

 

 

 

 

yx

 

x

S

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Проверка однородности дисперсий.

1)Определяется среднее по результатам параллельных опытов (если есть

параллельные опыты):

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

iu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 1

; i 1,...N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m – число параллельных опытов

 

i

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N – количество опытов в выборке

 

 

 

 

 

 

m

y

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2) Определяются выборочные дисперсии:

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

S 2

u 1

iu

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;i 1, N

 

 

 

 

 

 

N

2;

 

 

i

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Суммируются дисперсии S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 2

 

 

 

4) Выбирается максимальная дисперсия, составляется отношение:

G

max

;

 

 

N

 

2

 

2

- максимальное значение выборочной дисперсии.

 

 

 

 

 

S

 

Smax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
G Gтабл.(q, f1, f2)

Проверяется однородность дисперсий по критерию Кохрена (при

одинаковом количестве параллельных опытов).

Если , то дисперсии однородны.

число степеней свободы f1=m-1; f2=N;

5) Определяется дисперсия воспроизводимости

N 2Si

S 2 i 1

воспр. N (m 1)

-для одинакового числа опытов:

f= (N(m-1)).

3. Оценивается значимость коэффициентов полинома по

критерию Стьюдента (предпосылка – отсутствие корреляции между факторами)

t

 

 

bi

 

 

,

 

 

 

 

 

 

b

 

S

 

i

 

 

bi

 

 

 

 

 

где bi – i-ый коэффициент уравнения регрессии;

S

- среднеквадратичное отклонение i-го коэффициента

 

bi

 

 

 

 

Для случая линейного полинома y=b0+b1x1

2

и

вычисляются по

следующим формулам

 

2

Sb0

 

Sb1

 

 

 

S 2

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

Sb0

 

 

воспр.i 1

i

 

 

N

2

 

 

N

2

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

N

xi

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i

1

 

 

 

 

 

S

2

 

N

 

Sb1

 

 

 

 

воспр.

 

 

 

N

x2

 

N

2

 

 

N

 

 

 

x

 

 

 

i

1

i

 

 

i

 

 

 

 

i 1

 

Если

t

t

табл.

(q, f )

то коэффициент b1 значим (значимо отличается от 0). В

b

 

,

противном1случае – незначим ( 0) и из уравнения может быть исключен.

4. Проверка модели на адекватность осуществляется по критерию Фишера.

 

 

S 2

FT q, f1, f2

 

Если

F

ост

, то модель адекватна (т.е. линейное уравнение

2

 

 

Sвоспр.

 

 

регрессии адекватно описывает исследуемый объект).

для одинакового числа параллельных опытов m1=m2=…mn.

 

 

 

 

N

 

 

 

yˆ

2

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 2

 

i 1

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N l

 

 

если опыты проведены без параллельных.

 

 

 

 

 

 

 

ост

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f1 и f2 – число степеней свободы (f1 – для числителя,

 

 

 

N

 

 

ˆ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2 – для знаменателя).

 

S 2

 

i

1

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

f1=N-l; (числ. );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l=n+1 – число членов аппроксимирующего

 

 

 

ост

 

 

 

N l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полинома (число коэффициентов регрессии, включая свободный член).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2=N(m-1), (знамен. ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N – общее количество опытов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n – количество факторов (x1,x2…)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если не было параллельных опытов, то вместо проверки модели на адекватность

 

 

 

 

 

 

выполняется оценка качества аппроксимации достигается сравнением остаточной

 

 

дисперсии

2

с дисперсией относительно среднего

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sост.

S y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

yi – экспериментальное значение выходного параметра.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

i

1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N i 1

i

- среднее значение выходного параметра.

 

S y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение регрессии будет иметь смысл, если дисперсия относительно среднего существенно больше,

чем т.е. эти дисперсии должны отличаться значимо. Критерий Фишера в этом случае будет иметь вид:

 

 

S

2

 

 

 

F

 

 

y

1;

и в этом случае, чем F>Fтабл(q,f1,f2), тем уравнение регрессии эффективнее.

 

 

 

 

2

 

f1=N-1;

f2=N-1; для выбранного q.

 

S

 

 

 

ост

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ВИДЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОЛИНОМОВ

метод регрессионного анализа для составления статистической модели в виде полинома второй (или более высокой) степени:

 

bi xi

 

n

2

... ,...

ˆ

 

y b0

bij xi x j bij xi

 

 

 

i 1

 

 

i j

Коэффициенты регрессии определяют также по МНК

F y yˆ 2 min

Пусть дано уравнение

 

 

yˆ b

b x b x2

 

 

 

требуется определить b0,b1,b2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

N

 

 

 

b x

b x

2

2

min

 

 

 

 

 

 

y b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

0

1 i

2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

b b x b x

 

1

0;

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

0 1 i

 

2 i

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

b b x b x

 

 

 

x 0;

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

0 1 i

 

2 i

 

 

 

i

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y b b x b x

 

 

 

 

x

 

0;

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

0 1 i

 

2 i

 

 

i

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему уравнений, вычисляем коэффициенты b0,b1,b2.

Аналогичным путем определяются коэффициенты параболы любого порядка. Исследования уравнений проводятся по статистическим критериям, также как в случае линейной регрессии. Однако, коэффициент корреляции rxy рассчитывать не надо.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ АКТИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану и обрабатывается по некоторому оптимальному алгоритму с целью составления математической модели. Одним из основных методов теории активного эксперимента является статистическое планирование эксперимента.

План эксперимента показывает расположение опытных точек в n-мерном факторном пространстве.

ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Полный факторный эксперимент

При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях.

Необходимое количество опытов N при ПФЭ определяется по формуле:

N=ln

N – число факторов;

l – число уровней, на которых варьируются факторы.

Уровни факторов – это границы исследуемой области по данному технологическому параметру.

В основном (обычно) применяется планирование на двух уровнях, т.е. l=2, тогда при n=2, N=22=4.

Нулевой (основной) уровень (центр плана эксперимента) – это некоторое начальное значение фактора при составлении математической модели.

Это точка с координатами Интервал варьирования – часть области определения фактора,

симметричная относительно его нулевого уровня.

Соседние файлы в папке Лекции
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности