Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1316 вузов, 5363 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
свои люди в ТПУ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Политехнический Университет
Предмет:
Моделирование химико-технологических процессов
Файл:

Лекции / 8 Аналитич Методы оптим Метод Л

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.01.2026
Размер:
969.3 Кб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

k

C

A

e RT

 

E

 

 

k

2,0

C

B

e RT

E ;

 

1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

E E

 

 

 

E k

 

 

A

 

 

e RT

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

1 1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

e

RT

;

 

 

 

E k

 

 

 

C

B

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e RT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln( " )

 

1

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E k

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k ln

 

 

1

1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

2,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА.

Часто в задачах отыскания экстремума функций (критерия оптимальности) на независимые переменные накладываются определенные ограничения типа равенств. Это осложняет применение аналитических методов в их классической форме.

Для

решения

экстремальных

задач

с

ограничениями типа равенств используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Этот метод сводит задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений.

Пусть требуется найти экстремум функции

F(x1,x2,…,xn) min

(1)

при этом на независимые переменные накладываются ограничения типа равенств:

i

(x1, x2,..., xn) 0;i 1,...,m;m n;

(2)

 

 

m – число соотношений (ограничений) (2);

Если число m – условий (2) меньше числа независимых переменных n, т.е. (x1,x2…xn), то для решения экстремальной задачи может быть использован следующий прием.

Из системы m – уравнений (2) можно выразить m независимые переменные xi, как функции остальных n-m переменных, т.е. представить ограничения (2) в виде:

xi

fi

(x1, x2,...xn m)

(3)

 

 

 

Подставляя полученные выражения (3) в (1), получим функцию F, которая будет зависеть уже только от n-m переменных, не связанных дополнительными условиями (ограничениями).

F( x, f(x))

(4)

Таким образом, мы устранили ограничивающее условие

(2) и уменьшили размерность исходной оптимальной задачи.

Поясним на примере:

F(x , x

) 5x 2

x x

3x 2 10;

Допустим дана

1 2

1

 

1 2

 

2

 

 

x x

 

10 0;

 

 

 

 

Уравнение связи.

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

(ограничение)

 

 

 

 

 

 

Если есть уравнение связи, то можно выразить зависимые и независимые переменные. Надо избавиться от одной переменной и дифференцировать по другой.

 

 

 

x2=10-x1

 

 

F(x ) 5x 2

x (10 x ) 3(10 x )2

10;

F

1

1

 

1

1

1

 

10x 10 2x

6(10 x ) 0;

 

x

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

14x1 50;

 

 

 

 

 

x 50

; x

 

?

Найден оптимум

1

14

2

 

 

 

 

На практике часто бывает трудно, а иногда и вообще невозможно аналитически решить систему уравнений (2) относительно некоторых переменных, т.е. представить ее в виде (3).

(трудность в определении независимых переменных из (x))

Особенно, если уравнение трансцендентное.

sin(xy) xy 1

поэтому для решения задач отыскания экстремума функций многих переменных (1) с ограничениями на независимые переменные (2) используют метод неопределенных множителей Лагранжа. Т.е. искусственно вводят вспомогательную функцию вида:

n

R(x1, x2,...xn; 1, 2,..., m) F(x1,...xn) i1 i i(x1,...xn);

Все переменные считаем независимыми, а по количеству уравнений связи (ограничений) вводим новые переменные – множители Лагранжа.

Т.е. уравнение связи (2) (ограничения) теперь входят в функцию цели со своими коэффициентами (весовые коэффициенты) .

i – это неопределенные множители Лагранжа.

В данном методе экстремальные точки функции определяются решением системы уравнений, которые получают, приравнивая к нулю производные функции R по всем независимым переменным xi,i=1,…n и по всем множителям Лагранжа i, i=1,…m.

 

 

R(x1, x2,...xn, 1, 2,... m) 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(x,...x , ,...

 

 

 

 

)

 

 

 

 

n

1

m

 

0;i 1,...m;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример предыдущий:

L 5x

 

2 x x

3x 2

10 (x

x

10);

 

1

1 2

2

1

2

 

L

10x x

0;

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 6x 0;

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 10 0;

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10x1 10 x1 0;6(10 x1 ) x1 0;

 

9x 10 0;

 

1

 

 

 

5x 60 0

 

 

1

 

9x1 5x1 10 60 14x1 50

x1 1450

Соседние файлы в папке Лекции
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности