кр / МЭТ_Методическое пособие по решению задач по кристллографии

Наиболее плотноупакованным направлением в структуре типа ГЦК является направление [110].

3.1. Понятие о плотнейших упаковках

Известно, что кристаллическим структурам свойственна тенденция к образованию плотных и плотнейших упаковок как структур, обладающих минимальной свободной энергией.

При рассмотрении моделей плотных и плотнейших упаковок материальные частицы отождествляют с жесткими несминаемыми шарами, притягивающимися друг к другу. Шары, касаясь, заполняют большую часть объема, однако между ними образуются пустые пространства, которые называются пустотами.

В плоскости самым плотным способом упаковки атомов является тот, в котором каждый атом (шар) окружен шестью такими же по размеру атомами (шарами) (рис.3.4).

Представим себе, что в пространстве весь объем заполнен плотнейшим образом упакованными слоями атомов. Если обозначить через А первый слой атомов (рис.3.5,а), то второй такой же атомный слой В (обозначим центры тяжести его атомов серыми кружками) плотно ляжет на первый, если его атомы попадут в лунки между атомами первого слоя А (см.

рис.3.5,а). Оказывается, что третий слой атомов C (обозначим центры тяжести его атомов черными кружками) может быть уложен на второй двояким образом. Если шары третьего слоя уложить так, что их центры тяжести

придутся над центрами тяжести шаров первого слоя (рис.3.5,б), то получится гексагональная плотнейшая упаковка (ГПУ). Поэтому чередо-

42

вание атомных слоев в пространстве можно записать в виде алгоритма АВАВАВ , т.е. атомы третьего слоя повторяют положение атомов первого слоя.

Рис.3.5. Плотнейшие упаковки ГПУ и ГЦК

Во втором варианте упаковки третий слой атомов С (рис.3.5,в) займет положение в пространстве, отличное от положения первого слоя А и второго слоя В: его центры окажутся над центрами лунок первого слоя (отмечены белыми кружками), незаполненных атомами второго слоя. В этом случае алгоритм чередования атомных слоев в пространстве имеет вид АВСАВС , т.е. положение первого слоя повторяется атомами четвертого слоя. Такая упаковка называется гранецентрированной кубической (ГЦК).

В обеих плотнейших упаковках коэффициент компактности составляет 0,74, т.е. атомы занимают около 3/4 объема. Во всех остальных упаковках и структурах коэффициент компактности < 0,74. Координационные числа для решеток ГЦК и ГПУ максимальны из возможных, одинаковы и равны 12 (обозначаются как K12 и Г12 соответственно) (рис.3.5,г,д), что нетрудно представить себе из описанного выше метода получения плотнейших упаковок: каждый атом окружен шестью атомами в своем слое, тремя снизу и тремя сверху.

43

Рассмотрим виды и положения пустот в плотнейших упаковках, пользуясь принятой терминологией. Имеется два типа пустот: тетраэдрические и октаэдрические, которые получили свои названия по форме многогранников, вершины которых находятся в центрах атомов, их окружающих. На рис.3.6,а показана тетраэдрическая пустота, заклю-

ченная между четырьмя атомами, а на рис.3.6,б - октаэдрическая пустота, заключенная между шестью атомами. На рис.3.7 и 3.8 показано положение тетраэдрических и октаэдрических пустот в ГЦК и ГПУ плотнейших упаковках.

элементарной ячейки оказывается 1/4 часть объема от каждой такой

пустоты) и в центре куба. Всего в ячейке 12 14 1 4 октаэдрические

пустоты.

Ячейка ГПУ может быть представлена в виде ромбической призмы, у которой атомы находятся в вершинах и один атом расположен над центром одного из правильных треугольников основания на 1/2 высоты призмы. Число атомов в ячейке складывается из долей атомов, лежащих внутри нее:

n 4 16 4 121 1 2.

Октаэдрических пустот в ГПУ упаковке две. Тетраэдрических пустот в ГПУ четыре (в два раза больше, чем число атомов) (см. рис.3.8). При этом удобно пользоваться представлением решетки в виде гексагональной призмы.

44

Идея плотнейших упаковок оказалась удобной для описания сложных кристаллических структур.

Рис.3.7. Положение пустот в ГЦК плотнейшей упаковке: а - октаэдрических; б - тетраэдрических

Рис.3.8. Положение пустот в ГПУ плотнейшей упаковке: а - октаэдрических; б - тетраэдрических

45

Самая плотноупакованная плоскость - (110), самое плотноупакованное направление - [111].

Структурный тип магния. В структурном типе магния кристаллизуются металлы: кадмий, бериллий, цинк, кобальт, β-титан, рений и некоторые другие. Структура совпадает с плотнейшей упаковкой ГПУ, все пустоты свободны (рис.3.11). Для металлов, кристаллизующихся в этом структурном типе, характерна анизотропия свойств вдоль осей X , Y, U и вдоль оси Z.

n 4 121 4 16 1 2

Г 12

R a

= 0,74

Наиболее плотноупакованная плоскость - (0001), наиболее плотно-

упакованное направление - [1120].

Рис.3.11. Структурный тип магния

Пример решения варианта контрольной работы

1.Указать элемент, кристаллизующийся в структурном типе маг-

ния: Na, Zn, Pt.

2.Определить коэффициент заполнения пространства в решетке Ag.

3.Определить ретикулярную плотность плоскости (1 10) в решетке Mo.

4.Определить ретикулярную плотность направления [112] в решетке Au.

5.Решить кристаллохимическую задачу.

Решение

Задание 1. В структурном типе магния кристаллизуется Zn. Задание 2. Коэффициент заполнения пространства определяется из

соотношения

Vат ,

Vэ.я.

47

где Vат - объем, который занимают атомы в элементарной ячейке; Vэ.я. - объем элементарной ячейки. Объем атомов, принадлежащих элементарной ячейке, рассчитывается по формуле:

Vат n 43 R3 ,

где 43 R3 - объем одного атома, n - число атомов в элементарной ячей-

ке Ag, R - радиус атома Ag. Объем элементарной ячейки серебра, имеющего ГЦК решетку, равен параметру решетки a в кубе:

Ответ: 0,74.

Задание 3. Кристаллическая структура Mo - ОЦК:

48

Задание 4. Кристаллическая структура Au - ГЦК:

Кристаллохимические задачи

Задача 1. Определить расстояние между наиболее плотноупакованными плоскостями в решетке алюминия, если известны его атомная (26,98) и удельная (2,70 г/см3) массы.

Решение

Кристаллическая структура Al - ГЦК. В кубических кристаллах расстояние между плоскостями, входящими в одно семейство параллельных плоскостей, определяется из соотношения

где a - параметр решетки алюминия; (h k l) - индексы плоскости.

49

Для определения радиуса R атома меди рассматриваем наиболее плотноупакованное направление [110], вдоль которого происходит ка-

сание атомов: a2 4R.

Определяем параметр решетки a 3Vэ.я. 3,62 10 8 см и радиус

атома R a 2 1,28 10 8 см. 4

Ответ: Vэ.я. = 4,75·10-23 см3, a = 3,62·10-8 см и R = 1,28·10-8 см.

Задача 3. Определить атомную массу α-Fe, имеющего ГЦК решетку, если известны его удельная масса (7,87 г/см3) и радиус атома (0,124 нм).

Задача 4. Определить удельную массу платины по известному па-

раметру решетки (3,93 А ) и атомной массе (195,09).

Задача 5. Определить объем элементарной ячейки решетки кадмия по известным удельной (8,65 г/см3) и атомной (112,40) массам.

Задача 6. Определить параметр решетки бария по известным удельной (3,65 г/см3) и атомной (137,34) массам.

Задача 7. Определить радиус атома молибдена по известным удельной (9,01 г/см3) и атомной (95,94) массам.

Задания для самостоятельной работы

1.Определить число атомов в элементарной ячейке.

2.Определить координационное число и радиус первой координационной сферы в структуре.

3.Построить плоскость в элементарной ячейке и определить ее ретикулярную плотность.

4.Построить направление в элементарной ячейке и определить его ретикулярную плотность.

5.Определить коэффициент заполнения пространства и долю объема, приходящуюся на тетраэдрические и октаэдрические пустоты в элементарной ячейке.

Исходные данные для выполнения заданий приведены в табл.3.1.

51