32
2.2.Обозначение плоскостей и направлений
вгексагональных кристаллах
Пример решения варианта контрольной работы
Вариант 1
1.Определить кристаллографические индексы плоскости I.
2.Определить кристаллографические индексы плоскости II и число плоскостей, входящих в совокупность II.
3.Определить расстояние между плоскостями семейства (1210).
4.Определить кристаллографические индексы выделенного направления.
5.Определить направления и число семейств направлений, входящих в совокупность.
Решение
Задание 1. Установим начало координат, определим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, и возьмем числа, обратные данным отрезкам:
33
Х |
Y |
U |
Z |
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
1 |
–1 |
(1011) |
|
|
|
|
|
–1 |
0 |
1 |
–1 |
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Установим начало координат, определим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, и возьмем числа, обратные данным отрезкам:
X |
Y |
U |
Z |
1 |
1 |
– |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
(1124) |
||||||||||
2 |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
–2 |
4 |
|
|
|
|
|||
Поскольку плоскость является пирамидальной, то число плоско-
стей, входящих в совокупность {1124}, равно 12.
Задание 3. Расстояние между плоскостями, входящими в одно семейство параллельных плоскостей, определяется из геометрии. Постро-
им плоскость с индексами (1210) . Плоскость отсекает отрезки на осях:
OX = 1, OY = –1/2, OU = 1, OZ = .
34
Ближайшая плоскость из семейства параллельных плоскостей про-
ходит на расстоянии d = a2 .
Задание 4. Установим начало координат в начало направления и определим проекции направления на плоскость основания и ось OZ, а затем в плоскости основания на оси OX, OY и OU.
X |
Y |
U |
|
Z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
|
1 |
[1121] |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– 2 |
– 2 |
1 |
2 |
|||||||
|
|
|||||||||
–1 |
–1 |
–2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Запишем совокупность эквивалентных направлений:
1121 . Сделаем все возможные перестановки первых трех индексов. Из них выберем лишь те, которые удовлетворяют соотношению i = – (u + v):
35
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
112 |
|
112 |
|||||||||||||
112 |
|
112 |
|
|
112 |
|
|
112 |
|
|
112 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
121 |
|
121 |
|
|
121 |
|
|
121 |
|
121 |
|
|
121 |
|
121 |
|
121 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
211 |
|
211 |
|
|
211 |
|
|
211 |
|
211 |
|
211 |
|
|
211 |
|
211 |
|||||||||||||||||||
С данными перестановками последний индекс w может быть как положительным, так и отрицательным. В итоге получим 12 направлений:
[ 2111 ], [ 2111], [1211], [1211 ], [1121], [1121], [1121 ], [1121 ],
[1211 ], [1211 ], [ 2111 ], [ 2111 ].
Число семейств направлений в два раза меньше - 6.
Задания для самостоятельной работы
1.Определить кристаллографические индексы плоскости I.
2.Определить кристаллографические индексы плоскости II и число плоскостей, входящих в совокупность II.
3.Определить кристаллографические индексы выделенного направления.
4.Определить расстояние между плоскостями семейства.
5.Определить число плоскостей, входящих в совокупность.
6.Определить направления и число семейств направлений, входящих в совокупность.
Исходные данные для выполнения заданий 1, 2, 3 приведены на рис. 2.4, а для выполнения остальных заданий - в табл.2.2.
36
а
37
б
Рис.2.4. Исходные данные к заданиям 1, 2, 3 для самостоятельной работы по теме «Обозначение плоскостей и направлений в гексагональных кристаллах»
38
Таблица 2.2
Исходные данные для выполнения самостоятельной работы по теме «Обозначение плоскостей и направлений в гексагональных кристаллах»
Вариант |
Задание 4 |
Задание 5 |
Задание 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(1 1 00) |
{1121} |
101 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(1210) |
{101 3} |
1212 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(0 1 10) |
{2110} |
1 013 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(1120) |
{1 102} |
011 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
(1 010) |
{1 1 24} |
2111 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
(1 1 20) |
{0 1 14} |
|
1 |
|
101 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
(1 2 1 0) |
{0 1 11} |
2113 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0001 |
||||||||||||
8 |
(1 1 20) |
{101 1} |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
(1 100) |
{1212} |
0 1 14 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
10 |
(011 0) |
{1 2 1 1} |
2 1 1 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(0001) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11 |
{1123} |
011 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
(1 1 00) |
{101 4} |
3031 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
3. Кристаллохимический анализ типичных кристаллических структур
металлов и полупроводников
Основные характеристики элементарной ячейки:
1.Число атомов (общее число структурных единиц) в элементарной ячейке n подсчитывается с учетом доли принадлежности атома данной элементарной ячейке.
2.Координационное число K(Г) - число атомов одного сорта, находящихся на одинаковом расстоянии от атома, принятого за центральный.
3.Коэффициент заполнения пространства указывает долю объема элементарной ячейки, занятую атомами:
|
|
|
|
|
n |
4 |
R3 |
||
|
Vат |
|
nV |
|
3 |
||||
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
Vэ.я. |
|
Vэ.я. |
|
|
Vэ.я. |
|||
где n - число атомов в элементарной ячейке; Vат - суммарный объем атомов; Vэ.я. - объем элементарной ячейки; V - объем одного атома; R - радиус атома.
4. Ретикулярная плотность плоскости используется для оценки плотности упаковки кристаллографических плоскостей:
d * |
|
nат |
. |
|
|||
(hkl) |
|
S(hkl) |
|
|
|
||
Рассчитаем ретикулярные плотности плоскостей (100), (110), (111) в гранецентрированной кубической (ГЦК) элементарной ячейке (рис.3.1).
Ретикулярная плотность Рис.3.1. Гранецентрированная плоскости рассчитывается как от-
кубическая элементарная ячейка ношение количества атомов с уче-
том доли их принадлежности nат к площади искомой плоскости Shkl (рис.3.2).
40
Рис.3.2. Упаковка атомами плоскостей
(100), (110) и (111) в ГЦК решетке
n |
|
4 |
1 |
|
1 2 |
n |
|
4 |
1 |
|
2 |
1 |
2 |
n |
|
3 |
1 |
|
3 |
1 |
|
2 |
|||||||
|
(100) |
|
4 |
|
|
|
(110) |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
(111) |
6 |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(111) |
a2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
S(100) a2 |
|
S(110) a2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
d(100)* |
|
2 |
|
|
d(110)* |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
d(111)* |
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a2 |
|
|
a2 |
2 |
|
|
|
|
a2 |
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Наиболее плотноупакованная плоскость в ГЦК решетке - (111).
5. Ретикулярная плотность направлений рассчитывается как отношение количества атомов, принадлежащих направлению с учетом их доли принадлежности, к длине искомого направления:
d * |
|
nат |
. |
|
|||
[uvw] |
|
L[uvw] |
|
|
|
||
Рассчитаем ретикулярные плотности направлений [100], [110], [111] для гранецентрированной кубической элементарной ячейки
(рис.3.3).
Рис.3.3. Упаковка атомами направлений [100], [110] и [111] в ГЦК решетке
41