2.1.Обозначение плоскостей и направлений
вкубических кристаллах
Контрольные работы для различных групп и факультетов отличаются набором заданий. Приведенный первый вариант дается группам, наиболее подробно изучающим кристаллографию, и содержит все возможные задания по данной тематике. Два остальных варианта содержат выборочно задания, приведенные в первом варианте, поэтому примеры их решения не приводятся. Для самостоятельной подготовки к контрольной работе приводятся исходные данные и набор заданий.
Пример решения варианта контрольной работы
Вариант 1
1. Определить кристаллографические индексы плоскости I.
2. Плоскость отсекает отрезки на осях: OX = –1/2, OY = –1/3, OZ = –1. Построить плоскость и определить кристаллографические индексы.
3.Определить расстояние между плоскостями семейства II.
4.Определить индексы плоскостей и число семейств плоскостей, входящих в совокупность {301}.
5.Определить кристаллографические индексы выделенного направления.
6.Проекции направления на координатные оси равны соответственно: OX = 1/2, OY = –1, OZ = 1. Построить направление и определить кристаллографические индексы.
7.Определить кристаллографические индексы направления линии пересечения плоскостей (110) и (112).
22
8.Определить индексы направлений и число семейств направлений, входящих в совокупность <121>.
9.Установить принадлежность направления [210] плоскости (001).
10.Определить угол между плоскостями (221) и (110).
Решение
Задание 1. Установим начало координат, определим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, и возьмем числа, обратные данным отрезкам:
X |
Y |
Z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
–1 |
1 |
(211) |
2 |
|
||||
|
|
|
|
||
2 |
|
–1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Построим заданную плоскость в пределах элементарной ячейки и определим кристаллографические индексы:
X |
Y |
Z |
– |
1 |
– |
1 |
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
(2 31) |
|||||||||||
2 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
–2 |
–3 |
–1 |
|
|
|
|
|
||||
Задание 3. Установим начало координат, определим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, и возьмем числа, обратные данным отрезкам:
23
X |
Y |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
(013) |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние между плоскостями, входящими в одно семейство параллельных плоскостей, можно определить по формуле
d(hkl) |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
, следовательно, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
h2 k 2 l 2 |
||||||||||
d(013) |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||||
Задание 4. Произведем все возможные перестановки индексов, придав им и отрицательные значения:
(301)( 301) ( 301) ( 301]
(103)(103 ) (103 ) (103 )
(013)( 013 ) ( 013 ) ( 013 )
(031)( 031) ( 031) ( 031)
(130)(130 ) (130 ) (130 )
(310)( 310 ) ( 310 ) ( 310 )
Число плоскостей, входящих в совокупность, равно 24, число семейств плоскостей в два раза меньше, так как плоскости попарно параллельны, - 12.
Задание 5. Установим начало координат в начало направления и определим проекции направления на координатные оси:
24
X |
Y |
Z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
–1 |
1 |
– |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
[ 443 ] |
||||||||||
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
–4 |
4 |
–3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 6. Построим заданное направление в пределах элементарной ячейки и определим кристаллографические индексы направления:
X |
Y |
Z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
–1 |
1 |
|
|
|
||
[122 ] |
||||||||
|
|
|
||||||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
–2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 7. Такая задача может быть решена с помощью перекрестного умножения. Необходимо записать дважды индексы заданных плоскостей друг под другом, отбросить оба крайних столбца, перемножить попарно индексы по схеме:
u : v : w (k1l2 k2l1) : (l1h2 l2h1) : (h1k2 h2k1)
1 1011 0
1 1211 2
u : v : w (1 2 0) : (0 2 1) : (1 1).
Индексы линии пересечения [u v w] - [220] .
25
Поскольку кристаллографические индексы направления – это наименьшие целые числа, то правильная запись индексов направления
[1 1 0] .
Задание 8. Произведем все возможные перестановки индексов, придав им и отрицательные значения:
[121] |
[121] |
|
|
|
|
[121 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
[121 |
] |
[121 |
] |
[121 |
] |
[121 |
] |
[121 |
] |
|||||||||||||||||||||||||||
[211] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 211 ] |
[ 211 |
] |
[ 211] |
[ 211 |
] |
[ 211 |
] |
[ 211 |
] |
[ 211 |
] |
|||||||||||||||||||||||||
[112] |
[112 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[112 ] |
[112 ] |
[112 ] |
[112 ] |
[112 ] |
[112 ] |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Число направлений, входящих в совокупность, равно 24, число семейств - 12.
Задание 9. Условие принадлежности направления данной плоскости имеет вид:
hu kv lw 0 .
Исходя из этого, 0 2 + 0 1 + 1 0 = 0, т.е. направление принадлежит данной плоскости.
Задание 10. Угол между плоскостями (h1 k1 l1) и (h2 k2 l2) определя-
ется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cos |
|
|
|
h1 h2 k1 k2 l1 l2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
h2 |
|
k 2 |
l2 |
|
h2 |
k 2 |
l2 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
Угол между плоскостями (221) и (110): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
cos |
2 1 2 1 1 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
4 1 1 1 |
9 |
2 3 |
2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
26
Вариант 2
1.Определить кристаллографические индексы плоскости I и расстояние между плоскостями семейства I.
2.Определить кристаллографические индексы плоскости II и эквивалентные плоскости, входящие в совокупность плоскостей II.
3.Плоскость отсекает отрезки на осях: OX = 1/3, OY = , OZ = –1. Построить плоскость и определить кристаллографические индексы
4. Определить кристаллографические индексы выделенного
направления и принадлежность направления плоскости (110) .
5. Определить кристаллографические индексы семейства направлений, параллельных линии пересечения плоскости I и (100), и угол
между плоскостями I и (111) .
27
Вариант 3
1.Определить кристаллографические индексы плоскости I и расстояние между плоскостями семейства I.
2.Определить кристаллографические индексы плоскости II и число эквивалентных плоскостей, входящих в совокупность плоскостей II.
3.Определить кристаллографические индексы выделенного направления.
4.Определить кристаллографические индексы семейства направ-
лений, параллельных линии пересечения плоскости I и (110) .
5. Установить принадлежность направления [310] плоскости (001).
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1.Определить кристаллографические индексы плоскости I.
2.Определить расстояние между плоскостями семейства II.
3.Определить кристаллографические индексы выделенного направления.
4.Плоскость отсекает отрезки на осях OX, OY, OZ. Построить плоскость и определить кристаллографические индексы.
5.Проекции направления на координатные оси равны соответственно: OX, OY, OZ. Построить направление и определить кристаллографические индексы.
6.Определить индексы плоскостей и число семейств плоскостей, входящих в совокупность.
28
7.Определить кристаллографические индексы направления линии пересечения двух плоскостей.
8.Определить индексы направлений и число семейств направлений, входящих в совокупность.
9.Установить принадлежность направления плоскости.
10.Определить угол между плоскостями.
Вариант 2
1.Определить кристаллографические индексы плоскости I и расстояние между плоскостями этого семейства.
2.Определить кристаллографические индексы плоскости II и число эквивалентных плоскостей, входящих в совокупность плоскостей II.
3.Определить кристаллографические индексы выделенного направления.
4.Плоскость отсекает отрезки на осях OX, OY, OZ (табл.2.1). Построить плоскость и определить кристаллографические индексы.
5.Определить кристаллографические индексы семейства направлений, параллельных линии пересечения двух плоскостей (табл.2.1, задание 7).
6.Определить принадлежность направления плоскости (табл.2.1, задание 9).
7.Определить угол между плоскостями (табл.2.1, задание 10).
Вариант 3
1.Определить кристаллографические индексы плоскости I и расстояние между плоскостями этого семейства.
2.Определить кристаллографические индексы плоскости II и число эквивалентных плоскостей, входящих в совокупность плоскостей II.
3.Определить кристаллографические индексы направления.
4.Определить кристаллографические индексы семейства направлений, параллельных линии пересечения двух плоскостей (табл.2.1, задание 7).
5.Установить принадлежность направления плоскости (табл.2.1, задание 9).
Исходные данные для выполнения заданий 1, 2, 3 приведены на рис.2.3, а для выполнения остальных заданий - в табл.2.1.
29
а
30
б
Рис.2.3. Исходные данные к заданиям 1, 2, 3 для самостоятельной работы по теме «Обозначение плоскостей и направлений в кубических кристаллах»
31