кр / МЭТ_Методическое пособие по решению задач по кристллографии

Таблица 1.1

Виды кристаллов

Ромбическая

Тригональная

12

Окончание

Тетрагональная

Гексагональная

13

Пример решения варианта контрольной работы

1.Определить вид симметрии ромбической дипирамиды.

2.Продолжите: Ln L2

3.Как действует зеркально-поворотная ось?

4.Как располагается единичное направление в гексагональной дипирамиде?

5.Как проходят оси четвертого порядка L4 в кубическом кристалле?

Решение

Задание 1. При определении вида симметрии кристаллического многогранника необходимо:

1)держать кристалл в одном положении;

2)иметь в виду, что плоскости симметрии проходят через середины граней и ребер перпендикулярно им или же вдоль ребер, образуя равные углы с одинаковыми гранями и ребрами;

3)помнить о взаимодействии элементов симметрии (теоремы сложения).

Ромбическая дипирамида относится к ромбической сингонии, т.е. в ней нет осей симметрии порядка выше второго и все направления единичные.

Оси симметрии второго порядка проходят через противоположные

вершины, так как при повороте на 180 кристалл самосовмещается:

n 360 2 . 180

14

Таких осей в ромбической дипирамиде три (3L2). Три плоскости симметрии идут вдоль ребер (3Р):

Есть центр симметрии С, так как по теореме L2n P C. Таким образом, вид симметрии ромбической дипирамиды:

3L23PC.

Задание 2. В соответствии с теоремой 4 в присутствии оси симметрии порядка n (Ln) и перпендикулярной к ней оси L2 имеем всего n таких осей (nL2):

Ln L2 nL2.

Задание 3. При действии зеркально-поворотной оси происходят отражение в плоскости симметрии и поворот на элементарный угол (180 , 120 , 90 , 60 ). Следует иметь в виду, что порядок действий не имеет значения, т.е. отражение - вращение вращение - отражение.

15

Задание 4. В гексагональной дипирамиде одно единичное направление, совпадающее с осью симметрии L6:

Задание 5. Оси четвертого порядка L4 в кубическом кристалле проходят через центры противоположных граней. Всего их три (3L4):

16

Задания для самостоятельной работы

В табл.1.2 приведены исходные данные для выполнения самостоятельной работы, состоящей из трех заданий.

1.Указать плоскости симметрии кристалла.

2.Указать, как проходит поворотная ось в кристалле.

3.Определить вид симметрии кристалла.

Таблица 1.2

Исходные данные для выполнения самостоятельной работы по теме «Симметрические преобразования в кристаллах»

17

2. Кристаллографические индексы плоскостей и направлений

Кристаллографические индексы плоскостей (индексы Миллера) -

это не имеющие общих множителей целые положительные или отрицательные числа, обратно пропорциональные выраженным в осевых единицах отрезкам, отсекаемым данной плоскостью на осях X, Y, Z соответственно.

Для обозначения кристаллографических плоскостей в кубических кристаллах пользуются тремя индексами (h k l). Индексы записываются и читаются поцифирно и без знаков препинания. Отрицательный знак индекса записывается над индексом (как черта сверху).

Порядок действий при определении индексов кристаллографической плоскости следующий:

1) произвести установку кристалла: определить узел расположения начала координат и направления соответствующих осей (рис.2.1). Положительными считаются концы осей:

OX - от начала координат к наблюдателю; OY - от начала координат вправо;

OZ - от начала координат вверх.

При этом точка начала координат не должна принадлежать плоскости, индексы которой определяются;

2) определить в осевых единицах отрезки, отсекаемые

Порядок действий при определении индексов направления следующий:

1)установить начало координат в узел, через который проходит интересующее направление. Если направление не выходит из узла и не входит в него, то оно переносится параллельно себе так, чтобы оно входило или выходило из узла;

2)найти проекции направления на координатной оси;

3)заключить в квадратные скобки полученные значения проекций, если они целые числа; если значения проекций - дробные, то привести их к наименьшим целым числам, после чего заключить в квадратные скобки [u v w].

Отрицательные значения проекций на любую координатную ось имеют отрицательный индекс и отмечаются чертой над соответствующим индексом.

Символ [u v w] обозначает семейство параллельных направлений. Все направления, параллельные данному, имеют те же индексы.

Совокупность эквивалентных направлений, которые могут совместиться друг с другом с помощью преобразований симметрии, свойственных данному классу симметрии, пишется в угловых скобках <u v w>.

При определении индексов направлений в гексагональных кристаллах используется система координат, приведенная на рис.2.2.

В символе направлений [u v i w] первые три индекса также взаимозависимы:

i= – (u + v).

Запись [u v i w] обозначает не только одно направление, но и все семейство параллельных направлений.

Для кристаллов кубической сингонии существует ряд формул, позволяющих рассчитывать геометрические соотношения между плоскостями и направлениями, зная их кристаллографические индексы:

1. Определение расстояния между плоскостями, входящими в одно семейство параллельных плоскостей (h k l):

где a - параметр решетки кристалла.

2. Вычисление угла между кристаллографическими плоскостями (h1 k1 l1) и (h2 k2 l2) и направлениями [u1 v1 w1] и [u2 v2 w2]:

20

3. Определение принадлежности направления с индексами [u v w] плоскости (h k l). Если направление [u v w] принадлежит плоскости (h k l), то справедливо следующее соотношение:

hu + kv + lw = 0.

4. Нахождение индексов линии пересечения двух плоскостей [u v w]:

u= k1l2 – k2l1.

v= l1h2 – l2h1. w = h1k2 – h2k1.

Существует мнемоническое правило для запоминания порядка букв и индексов в указанных выше равенствах. Запишем два набора индексов Миллера следующим образом:

Проведем вертикальные линии, как показано на схеме, и зачеркнем крайние четыре индекса. Перемножим попарно оставшиеся индексы в соответствии со стрелками и возьмем произведения со знаком «плюс», если стрелка направлена слева направо, и со знаком «минус», если она направлена справа налево:

u : v : w (k1l2 k2l1) : (l1h2 l2h1) : (h1k2 h2k1) .

21