УДК 548.0(075.8)
Рецензент канд. техн. наук, доц. Л.И. Матына
Попенко Н.И., Железнякова А.В.
Кристаллография. Методические указания по решению задач. - М.:
МИЭТ, 2009. - 68 с.: ил.
Методические указания включают четыре раздела: симметрия кристаллов, определение кристаллографических индексов плоскостей и направлений в кубических и гексагональных кристаллах, кристаллохимический анализ типичных структур металлов и полупроводников, прогнозирование формы ямок травления в кристаллах. В каждом разделе изложены теоретические основы, приведены варианты контрольных работ с решениями, предложены задания для самостоятельной работы.
Предназначены для студентов факультетов ЭТМО, ЭКТ и колледжа «Электроника и информатика».
МИЭТ, 2009
2
Введение
Кристаллография - наука о кристаллах и кристаллическом состоянии материи. Современная техника немыслима без самого широкого использования кристаллов. В электронике находят применение проводниковые, полупроводниковые и диэлектрические кристаллы.
Кристаллография наших дней изучает законы образования, форму и структуру кристаллов, классификацию кристаллов по структурным признакам, физические свойства кристаллов. Обычно кристаллографию делят на три больших раздела:
-геометрическая кристаллография;
-химическая (кристаллохимия);
-физическая (кристаллофизика).
Реальная кристаллическая структура содержит различные дефекты, определяющие многие важные физические свойства (электрические, механические, оптические), поэтому структурные дефекты также являются предметом исследования кристаллографической науки.
Изучение традиционных разделов кристаллографии в настоящее время дополняется изучением кристаллоподобных анизотропных материалов, таких как жидкие кристаллы, текстуры, полимерные материалы, тонкие пленки, нитевидные кристаллы, а также доменной структуры сегнетоэлектриков и ферромагнетиков.
Современная кристаллография из описательной, которой она была на протяжении длительного времени, превратилась в точную науку со своим математическим аппаратом. Аналитическая геометрия кристаллического пространства, метод теории групп симметрии и метод плотнейших упаковок геометрических тел в пространстве - основные методы, используемые кристаллографией.
Несомненна практическая важность кристаллографии при решении материаловедческих и технологических задач микроэлектроники. Известные в настоящее время кристаллохимические закономерности позволяют успешно оценивать свойства материалов и целенаправленно изменять их. Поиски веществ со специальными физическими свойствами всецело базируются на кристаллохимических закономерностях.
Для решения научных и практических задач необходимо оперировать различными приемами описания симметрии и структуры кристаллов.
3
В данном издании рассматриваются разделы кристаллографии, связанные с симметрией, индексацией плоскостей и направлений в кубических и гексагональных кристаллах, кристаллической структурой проводниковых и полупроводниковых материалов, определением дефектности полупроводников.
Практическому освоению курса «Кристаллография» помогает теоретический материал, содержащийся в каждом разделе, и подробный разбор решений различных вариантов тестовых заданий.
Для самостоятельной работы предлагаются типовые упражнения и задачи, большинство из которых являются оригинальными.
4
1.Симметрические преобразования
вкристаллах
Симметрией называется особое свойство тел или геометрических фигур, при наличии которого их отдельные части могут быть условно совмещены друг с другом с помощью некоторых симметрических операций.
Симметрия характеризуется с помощью элементов и операций симметрии.
Операцией симметрии называется операция совмещения точки (или части фигуры) с другой точкой (или частью фигуры). Обе совмещаемые части фигуры симметричны.
Элементом симметрии называется воображаемый геометрический образ (точка, прямая линия, плоскость), с помощью которого осуществляется операция симметрии.
Различают элементы симметрии первого и второго рода. К элементам первого рода относятся плоскость симметрии, поворотные оси симметрии и центр инверсии (симметрии); к элементам второго рода - сложные элементы: инверсионные и зеркально-поворотные оси.
Плоскостью симметрии Р назы-
вается плоскость, которая делит фигуру на две зеркальные части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение (рис.1.1). Плоскость симметрии делит пополам все перпендикулярные ей прямые, соединяющие симметричные (симметрично равные) точки (части фигуры).
Поворотной осью симметрии n-го порядка Ln называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол α = 360°/n, именуемый элементарным углом, происходит совмещение симметричных (совместимо равных) точек
(рис.1.2).
Рис.1.1. Отражение в плоскости симметрии
5
Рис.1.2. Поворотные оси симметрии
Порядок оси определяет, сколько раз произойдет совмещение симметричной фигуры с самой собой при повороте вокруг оси на 360°:
n 360 ,
где - минимальный угол поворота. Если:
= 180°, то n = 2;
= 120°, то n = 3;
= 90°, то n = 4;
= 60°, то n = 6.
Если речь идет не о кристалле, а о произвольной фигуре, порядок поворотной оси может быть любым. Так, шар имеет бесконечно большое количество поворотных осей, в том числе и бесконечного порядка L (т.е. приходит в совмещение с исходным положением при повороте на любой, в том числе и бесконечно малый угол). Правильные многоугольники с количеством сторон n имеют оси того же порядка, что и количество сторон; очевидно, что всякая прямая в любой фигуре является поворотной осью первого порядка.
В кристаллах порядок возможных поворотных осей строго ограничен. В решетчатых системах, следовательно, и в кристаллах невозможны оси пятого порядка и оси порядка выше шестого.
Центром симметрии С (центром инверсии, центром обратного равенства) называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры.
6
Рис.1.3. Действие центра симметрии
Операция инверсии совершается относительно точки О (рис.1.3) и представляет собой преобразование, при котором всякий вектор r, исходящий из точки О, превращается в противоположный вектор –r. Точка А1 может рассматриваться как зеркальное отражение точки А, полученное посредством отображения в центре симметрии С.
Из вышеизложенного вытекает следующее практически важное правило: при наличии центра инверсии каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная (обратно параллельная) первой.
Инверсионной осью Lin называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим (или предварительным) отражением в центральной точке фигуры как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.
Подобный элемент симметрии представляет как бы совокупность простой оси симметрии и центра инверсии, действующих не порознь, а совместно. Участвуя лишь в качестве составной части инверсионной оси, центр инверсии может не проявляться в виде самостоятельного элемента симметрии. Инверсионной осью обладает, например, тригональная призма (рис.1.4), явно не имеющая центра симметрии.
Рис.1.4. Тригональная призма
7
Прямая LL на рис.1.4 отвечает тройной оси L3, одновременно являющейся и шестерной инверсионной осью симметрии Li6. Действительно, после поворота вокруг оси на 60° всех частей многогранника и последующего отражения их в центральной точке фигура совмещается сама с собой.
Для кристаллов доказана возможность существования следующих
инверсионных осей: Li1, Li2, Li3, Li4, Li6.
Зеркально-поворотной осью Sn называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим (или предварительным) отражением в перпендикулярной к ней плоскости, проходящей через центр фигуры, фигура совмещается сама с собой.
Отражение происходит в действующей совместно и нераздельно вспомогательной плоскости, которая не обязательно является плоскостью симметрии фигуры. При этом:
S1 = P = Li2; S2 = C = Li1;
S3 = L3 + P = Li6; S4 = Li4;
S6 = L3 + C = Li3.
Таким образом, зеркально-поворотные оси по конечному результату их действия могут быть полностью заменены соответствующими инверсионными, и наоборот (рис.1.5).
Рис.1.5. Совмещение фигуры, обозначенной цифрой 1, с фигурой, обозначенной цифрой 2, в результате действия инверсионных или зеркально-поворотных осей
Элементы симметрии сочетаются друг с другом. Существует ряд теорем о сложении элементов симметрии, позволяющих вывести возможные совокупности элементов симметрии. Доказано, что два элемен-
8
та симметрии влекут за собой третий равнодействующий элемент, действие которого равно сумме действий первых двух.
Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии всегда является осью симметрии, действие которой равно сумме действий обеих плоскостей. Элементарный угол поворота данной оси вдвое больше угла между плоскостями.
Теорема 2. При наличии двух пересекающихся осей симметрии всегда следует искать третью равнодействующую ось, проходящую через точку пересечения первых двух (теорема Эйлера).
Теорема 3а. При наличии центра симметрии С, лежащего на четной оси L2n (L2, L4, L6), всегда существует плоскость симметрии, перпен-
дикулярная к L2n.
Теорема 3б. При наличии центра симметрии С и проходящей через него плоскости симметрии Р всегда существует четная ось L2n, перпендикулярная к Р.
Теорема 3в. При наличии четной оси L2n и перпендикулярной к ней плоскости симметрии Р всегда существует центр симметрии С.
Следствие. При наличии центра симметрии С сумма четных осей равна сумме плоскостей симметрии.
Теорема 4. (следствие из теоремы 2). При наличии оси симметрии Ln и перпендикулярной к ней оси L2 всего будет n таких осей (nL2):
Ln nL2 ( L2).
Теорема 5. (следствие из теоремы 1). При наличии оси симметрии порядка n (Ln) и плоскости симметрии Р, проходящей вдоль этой оси, имеем всего n таких плоскостей (nP):
Ln nP ( Ln).
Вид симметрии (точечная группа) - совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл. Запись элементов симметрии строгая: вначале записываются оси симметрии высшего порядка, затем более низкого, далее записываются плоскости симметрии и центр симметрии.
Вид симметрии многогранников, представленных на рис.1.6, одинаков: 3L44L36L29PC. Рассмотрим элементы симметрии гексаэдра
(рис.1.6, а).
9
Рис.1.6. Кристаллические многогранники: а - гексаэдр (куб); б - ромбододекаэдр
Гексаэдр относится к кубической сингонии и обладает несколькими осями выше второго порядка. Три оси четвертого порядка 3L4 (рис.1.7,а) проходят через противоположные центры граней куба. Наличие четырех осей третьего порядка 4L3 - обязательный признак кристалла кубической сингонии, они проходят через противоположные вершины по пространственным диагоналям куба (рис.1.7,б). Кроме того, присутствуют шесть осей второго порядка 6L2 (рис.1.7,в), которые проходят через середины противоположных ребер куба.
Рис.1.7. Оси симметрии гексаэдра
Плоскостей симметрии в кубе девять 9P (рис.1.8): три проходят через середины противоположных ребер куба, а шесть - через противоположные ребра куба, включая их в себя. Кроме того, куб обладает центром симметрии.
10
Рис.1.8. Плоскости симметрии куба
В результате вид симметрии куба записывается следующим образом:
3L44L36L29PC.
В табл.1.1 представлены кристаллы, относящиеся к ромбической, тригональной, тетрагональной и гексагональной сингониям.
11