Методические указания и контрольные работы №3, №4 по высшей математике для студентов-заочников машиностроительных специальностей-1

y^z.. - -

. -

Г

=

^ + С

, =

0 = 0.

, r ( l + . r )

.V

[ - r X ^

Отсюда

biKl + x ' x i

+ J'^) = 2 1 n i a | .

+

+

=

- общий интеграт уравнения. Разрешая отно-

/(a-,;,v) = /"/(.v,v)-

( 4 , 6 )

Например; f(x,y) = .x'^3x-y - однородная функция третьего

измере-

ния относительно переменньгх х и у, так как

/{ix,ty) = (ixy +3(tx)-(y = Р{х-' ^Зх-у) =

Пример

4.3.

Н а й и и

ч а с т о е

р е ш е н и е

у р а в н е н и я

( у - ~ 3.V- )с/у + ixydx =

о ,

у д о в л е т в о р я ю щ е е н а ч а л ь н о м у у с л о в и ю yi

= 1 .

Решение.

v )

= 2 . v y , j V ( ^ , y )

- у " - З л - " -

о д н о р о д н ы е

ф у н к ц и и

в т о р о г о и з м е р е н и я . П о д с т а н о в к а у

iLx,y ' ^и'х + и п р и в о д и т

у р а в н е н и е

к в и д у

Интегрируя, получим

, or-Ъ/dii

.dx

1Г-З

А

В

+

D

,

j-^

= j — ,

= —+

u(\-!l

Л"

ll(\-u)(\ + u)

и

1-1/

1+U

A^-i. 5 =

D = {.

-J In )( I f /f5 I 1

- H I + / n

L r II = in X +

In ' С .

где

и v(.v) - неизвестные

функции,

~

dv

du

dv

, ,

Тогда

ах

= V--

+ и— и уравнение (4,7) примет вид

ах

dx

и sm-T =

I

dii

d x s i n ^ ^ f '

s i t i j : '

du -

=>u = -ctgx

+ C.

sm" JT

Общее решение исходного уравнения

У = UV = ( - c t g j r +C)sin j: = -COSA" + Csin х .

4.4. Уравнение Бернуллн

Уравнение Бернулли имеет вид

у'+

Р{х)у

0(j:)y'",

где П7

о,

Такое уравнение можно проинтегрировать с помощью подста-

новки у = т '

или свести к линейному уравнению с помощью замены

V

Пример

4.5. Решить уравнение ; ' - -

= — .

Полагая у = uv, приводим уравнение к виду

(du

и

dy

X т л

dx X

dx UV = 0.

( 4 . 1 0 )

Уравнение — -

X

= о имеет частное решение и = л-.

dx

Подставляя и в (4.10), получаем уравнение

dx

JV

" dx

v'

Его общее

решение

v = ±-.2х+1:":.

Обшее решение

исходного

уравнения j/= х(±

;2хТС).

Пример

4.6. Решить уравнение Бернулли относительно .v = х{у).

dx

X

1

dy ~ ly

~ 1х '

•fu

.'о

где

Пример

4.7. Решить уравнение

f^.tsin v + vcos V jiix +

(^.vcos V - ysmy)dy

- О,

— -e

f jrcosv + cos>'->'Sinv/'

— =

f^cosj'--vsm^' + cos^v/

ay

'

'

dx

ди

X,

.

X.

• .

— - е

{j:.sm

'

>'cos>'); — = е' ^.tcos v-^ysin;/).

дх

ду

Из первого уравнения этой сястемь( находим

-

e*'.vsm >• -e'' sin у + с ' vcos v + tp(y),

где <p(.v) -- произвольная дифференцируемая функция.

Подставляя

во второе уравнение системы, имеем

е ^ X cos V - ii

cos V + е

i: OS > - £.' V' sin >• + ф'( у) =

= Й '',vcos V -

V =:> ф'( v) = О

ф( v) = С,

Следовательно, и(х,у)

^ с' (л-sin у - sm v + vcosy) + С.

^

'' dx cly cix dy ' '

dy-

^dy,

ИТ. Д. Подставив эти выражения в уравнение вместо

i ' , п о -

уу' = у'+{у')\

.V(0) = 1,

.vYn) = 0,

Решение. Данное уравнение

не содержит

независимую пере-

менную, поэто.му полагаем j' =Jiv). 1огла

i

- и уравнение при-

dy

dv

V

г

Решая его, находим г ±y-j-'

. Из условия >•' = z = О при у = )

имеем С| =-1, следовательно,

^-^tv

j'^-l или clx = ±v i " - 1, Интег-