Методические указания и контрольные работы №3, №4 по высшей математике для студентов-заочников машиностроительных специальностей-1

где М,„_„{х),

Oi(.x), Р„(х) - многочлены;

Oi(x ]

^ ,

- правильная дрооь, /<п.

,,

^

А

,

Mr+.V

Мг + Л^

V

х-а'

••

2у

(х~а/'

Зу

.x' + px+q'

4у

/'•f + '

X"

-ix

л''~4д"

X

+X + 4

+ 1 - 8 =

+ 4.1; -

2) -

остаток .

Подьгнтегра^ьная дробь запишется в виде

хЧл-'^-Х

2

+JC

,

4(х^ +

4х-2}

+ —

i.

х'-4х

х^-4х

illi^zl-

А

л

-4х

^ 'х(х - 2){.v - 2 )

^ х^

х-2*

х + 2'

Приравнивая числители, получим тождество

х^- +4х-2

= А(х - 2)(х ^ 2) 1- Вх(х + 2) + Сх(х - 2).

При х=0

имеем: -2 = -4А, А = -.

При .г = 2 имеем: Ю = S5, й = - .

4

При х = -2

имеем: -6 = 8С,С = --•.

Таким образом.

4

;

Jx = i .(• + -Г + 4 +

;

Jx -

J i

3

^

4

.X ,v - 2

X+ 2

л'^

,

, ;с" I j; - 21' ^

^ — + — + 4,т + //7—^

г^ + С.

3

2

i:c +

2 p

UpiLHep

1.14.

I -г

т

dx .

, ,

2X2+10J:-5

А

ВХ+С

.

коэффициентами:

= — + —

Х-+2Х+5

откуда Л =

С=\2. Окончательно получаем

= f(.r - 2)dx +

1

3x + \2

V

x'+2x-+Sx

- . -

+

_

=

X

x^ + 2x + 5j

(Х-2Г

, ,

,

3 г 2X + 2 + 6

2

(x -2-r

dx

2

2'x^+2x

+ 5

' ( j f + l ) ' + 4

(x

2

2

'

'

2

2

1.2.7. Интегрирование

тригонометрических

функций

Рассмотрим интеграл

вида jsin'" JCCOS" xdx

целые.

а). Если хотя бы одно из чисел m или п нечетное,

положитель-

ное, а второе - любое, ix) интеграл

находится с помощью подстано-

вок sin .t = г, cosxdx = cli или cosj =1,

-

= dt.

б). Рхлн т

и А7-четнь!е, положительные числа, то

применяются

формулы понижения степени;

1 . ^

cos

7

x =

l + cos2x

;

.

2

x =

l - c o s 2 x

.

sin-vcosj: =--sm2-r;

^

sin

^

Пример

1.15.

Vcos.v

vcosx

ax =

Ч

sin xdx = dt

-

2

I

2

Ы!

5

5

npimep

1.16.

t

1

• J

,

ffl+соз2дгУ I -

,

cos- X sm

xdx =

V

2

X!

2

j

ax =

= A|(1~COS2.V - c o s ' 2.V + C0S'

2x)dx =

= -- V. - — sui 2л- -

—

f {I + cos 4.T

+ ~

f {! -

sin - 2

sin 2.V =

8

16

= - . Y - ™ s i n 2-v - — — s i n 4 . i ;

16

sin^ 2.v + C =

8

!6

16

64

48

I

1

. ,

1

. , ,

= — .T

64

sm4.t

48

sm

2x-^C ^

16

в). Если подынтегральные функции имеют вид

sin тл cos их,

sin тх sin их, cosm.\ cos п.х ,

где

ТО их преобразуют по формулам

sin /пх cos «.V = -- [sin; т •^п)х+ sinf'т-п J.v];

sin тх sin их = -

[cos/'т - п)х - cosf т + п)х]\

cos тх cos /f.v =

[cos (т - п/х + casfm + п )х\

г). Интегралы от функций, содержащих tg"x

и ctg^" х и где w и г/-

целые, приводятся к табличным с учетом того, что

(tg х)' - -

V - , (ctgx)'

= -

,

1 + tg^ X =

•,

! + ctg- .г = --

.

cos X

sm-,t

cos

х

sin

л'

Пример

/. / 7.

Itg^jcsec"* xdx = Jtg - 4(I + tg^

= Jtg^t<^(tgx) +Jtg''

=

'

s

1

"

s ..

T

1

6 •

8

cosjr

= -

tg x + - tg V. - L. Здесь sec.r = -

л). Интеграл вида |j4(sinA%cos,v)iiv, где

R{uy} - раиионатьная

функция от и, V, всегда сводится к интегралу от рациональной функ-

ции огносительно

нового

аргумента

t с помощью

[юдстановки

= f; тогда

sin X =

^

=

cos.r =

^ =

1-г

,

idt

.

dx =

2

2

1 + /'

'

2?

Y

4-'

i '

1 ; J /

1 f i / t

1

1

1 ,

!

,

I

1 ,

tg:

1 , JC

4 - /-

/

4-'

8 r

2

8

^

2

ах

dt

X

= arclgt,

cos'

7

=

I

.

Т

г

=

х

1 + ;-

sm

х ~

\ + f

Пример

1.19.

dx

t = tg.v

dx

cos" X

dt

dt

dx

= 1-

3 sin " + 5со5дsin

-i- c o s " .r

+ 5igx

+ 1

1

З Г + 5/ + 1

c o s ~ x

= i |

dt

•In

6

6

„

1 ,

^6tg.r+5-Vl3

5

^/Гзl

%/Гз

Ugx + S + Jn+c

+

t +

1)

1+-

6

6

^

6

J

ж). Если функция

/ ? ( - s i n . T , c o s x )

= - / ? ( s i n . T , c o s x ) ,

TO применяется

подстановка cos х-/. Если ^ s m

j t - c o s . v )

= - /;(sin - i;,cos - i:),

то применяет-

ся подстановка sin x^t.

Пример

1.20.

f

c

i c . Обозначим cos

sin xclx--dl,

тогда

'

cos

X

; sin \v

J

л - C O S " . г . .

r '

/

+

r"^'

=

j - — - A - - J

sin.r^ = /-—-(-JO =

cos

X

COS X

/

r

/-

= +-!f

--- 1+ (, ^

1

I

3

!

Зсоъ\х

cos.v

т

г

а). Интегралы вида \R(x,x "

сводятся к интегралам от

т

г

б). Интегралы вида

' ах + п

'

(ах^ йА i

dx .

Рационали-

Ксх + dJ

Л сх + jJ

ах + b

J-

зирующая подстановка

сх + d

= г", где к -

общий знаменатель дробей

т

1.2.9. Интегрирование

дифференциальных

биномов

Рассмотрим инте1рал вида \х'"(а +

Ьх"dx.

а). Если р - целое число, то применяется подстановка л- = t\ где j-

общий знаменатель дробей т и ri.

б). Если

т + \ -

целое

число,

го

применяется

подстановка

(34- hx" = t^, где S - знаменатель дроби р.

в). Если

т +1

- целое число,

то

применяется

подстановка

or " + h = {\ где S - знаменатель дроби р.

Пример

1.21.

X = !

• = 6J- dt

I

"

dx = 6!\lt\ = I

Дробь

раскладываем на простейшие дроби:

1

^

А

+

в

с

D

Е

;

+ _ + _ +

t(t+\)

f

Г

t

1+\

di

dt

dt

dt

/•'{г + 1)

Ч'

/ + 1

6,-3

6

6

= - -3r '

+ -2- Г '

- -f

- 6 1 n

IH +6!л I/ +11+C =

2 T+-3

^ ^

^

6^

3

-111 |л-|+1п i U l a

l+C.

^x

\Гх

Пример

1.22. \

40/2,

Так как

и=4,

то

n

= —4 =

- целое число. Имеем

vr

—dx

=

—

t-idt

-dt.

2

Раскладываем дробь"

-

на простейшие дроби:

(1-0-0 +О

Л

с

+

D

—

+

П - 0"

(1 + 0^

' + '

АО

СП -

-г ОП + 1 - t / = Г-

= -1 4С = 1,

С" - I

4;

= 1 4 ^ = ),

А = 1 4;

- j5 + D = О,

й = Z3;

'lA+B + C + D = 0.

4 + 2Z) + r 4

= 0.2D = -l

4,j3 = -]/4.

t

=

1 г

tJf

г +

t г

1 г

+

1 г

dt

-—

f

,

•

'

+

r,

+ / - C =

"2/

i,

+

. +C =

8 ( 1 - 0

- - I n ; l - /

+

8(1 + 0

8

8 ( 1 - ^ ' )

rin

n - ' l

8

8

4

+ -In

,

•- + С =

4

: — + —In

;

-i-C .

8

npuAtepI.l. Вычислить определенный интеграл j

iix

1 dx

X

arcsinQ = —

Решение.

=

= aycsin

2

6 •

0 V 4 - . v -

j: = 2sinr

jc = 0,f

= 0

n г

dx = 2costdi

x = 2j

= Til2

4sm' /••2cos/--2cosf£^f =

я • i

"c • t

Я; i

cos4r)c/r = 2I

= ]6 jsin^ I COS" tdt = 4 \ m'-2tdt = 2 |(1 -

= 71.

Ч

4

I udv = uv

-1 vdu.

JC/6

Пример 2.3,

Вычислить определенный интеграл jx

.

Решение

о

.т. 6

Л". 6

и~х

dv=sm'ixdx

О

3

3

+ -

^ , 1 . .

^

1 •

'Г

J COS ЪхЫх ~ - л (« 3Д-!

= - sm — = --

О

2

9