Методические указания и контрольные задания по физике для студентов-заочников энергетических специальностей и факультета информационных технологий и робототехники-1

Задача 2.4

На тонком стержне длиной l равномерно распределен заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Найти потенциал, созданный распределенным зарядом в точке, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние L.

Дано:

Решение

В задаче рассматривается поле, создаваемое распределенным зарядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд dq = τdx , который можно считать точечным. По-

тенциал dϕ, создаваемый этим точечным зарядом в точке А (рис. 2.4), можно определить по формуле

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, потенциал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в т. A, найдем интегрированием этого выражения:

71

Произведем вычисления:

φ= 9 109 10−8 0,693 В= 62,4 В.

72

Задача 2.5

Электрическое поле создано длинным цилиндром, равномерно заряженным с линейной плотностью 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии 0,5 см и 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части. Радиус цилиндра – 1 см.

Дано:

R =1 см = 0,01 м;

τ= 20 нКл/м = 2 10−8 Кл/м; a1 = 0,5 см = 0,005 м;

a2 = 2 см = 0,02 м.

∆φ=?

Решение

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: E = −градφ. Для поля с осевой симметрией, каким является поле

цилиндра, это соотношение можно записать в виде

E = − ddrϕ ; dϕ = −Edr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояние r1 и r2 от оси цилиндра:

r2

ϕ2 − ϕ1 = −∫Edr.

r1

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

E = τ/(2πε0r).

73

Подставив выражение Е в предыдущую формулу, получим

Произведем вычисления, учитывая, что r1 = R + a1; r2 = R + a2:

φ1 −φ2 = 2 10−8 1,8 1010ln (3/1,5) = 250 B.

Задача 2.6

Определить ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью 106 м/с, чтобы скорость его возросла в 2 раза.

Дано:

v1 =106 м/c; n = v2 / v1 = 2.

∆ϕ = ?

Решение

Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электрического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда e на разность потенциалов ∆ϕ:

A = e∆ϕ.

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

74

где m – масса электрона;

v1, v2 – его начальная и конечная скорости. Приравняв правые части равенств, получим

Отсюда – искомая разность потенциалов

∆ϕ = mv12 (n2 −1) . 2e

Произведем вычисления:

Задача 2.7

Конденсатор емкостью 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью 5 мкФ. Какая энергия израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Дано:

C1 = 3 мкФ = 3 10−6 Ф; C2 = 5 мкФ = 5 10−6 Ф; U1 = 40 B.

W = ?

75

где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;

W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов. Выразив в формуле (2.1) энергии W1 и W2 по формуле (2.2) и

приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов. Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим

образом:

Подставив выражение U2 в (2.3), найдем

76

Произведем вычисления:

Задача 2.8

Потенциометр сопротивлением 100 Ом подключен к батарее с ЭДС 150 В и внутренним сопротивлением 50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра (сопротивление вольтметра 500 Ом); 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 2.5), определим по формуле

U1 = I1R1,

где R1 – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра;

I1 – суммарный ток в ветвях этого соединения, или ток в неразветвленной части цепи.

77

где Re – сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:

Сопротивление R1 найдем по формуле параллельного соединения проводников:

Подставив в (2.5) выражение Re, по (2.6) найдем

I1 = R / 2 +εR1 + r1 .

В данном случае решение в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисление величин провести раздельно:

U1 =1,03 45 5 = 46,9 B.

78

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению величины тока на половину сопротивления потенциометра:

Величина тока в проводнике сопротивлением 20 Ом нарастает в течение времени 2 с по линейному закону от 0 до 6 А (рис. 2.6). Определить теплоту, выделившуюся в этом проводнике за первую и вторую секунды.

79

Решение

Закон Джоуля – Ленца в виде Q = I 2Rt справедлив для посто-

янного тока (I = const). Если сила тока в проводнике изменяется, указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

где сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения величины тока:

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени ∆t , выражение (2.10) надо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:

80