Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и контрольные задания по высшей математике-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

знаменатель – положительные степени трёхчлена x2 px q , начиная со степени k и кончая

первой.

Итак, для интегрирования рациональных дробей надо:

1.Установить, является ли данная рациональная дробь правильной или неправильной. Если она неправильная, выделить целую часть.

2.Проинтегрировать целую часть и правильную дробь. Для интегрирования правильной дроби необходимо: а) Разложить знаменатель дроби на множители. b) Представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами. c) Найти коэффициенты. d) Проинтегрировать простейшие дроби.

Интегрирование тригонометрических выражений. Так как любое тригонометрическое выражение можно записать только через sin x и cos x , то получим интеграл рационально

зависящий от sin x и cos x .

R sin x, cos x dx.

Этот интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции относительно новой

переменной с помощью подстановки tg

t , тогда

2tg

1 tg

2 x

1 t2

2dt

sin x

;

cos x

;

2 x

1 t2

1 tg

Например, найдем интеграл

2 dt 1 t2

sin x

c .

1 t2 2t

sin x

1 t

2dt

1 t2

Универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интеграл ( ), однако её используют очень редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Она используется в тех случаях, когда другие подстановки применять нельзя.

Частные случаи:

1) Интеграл вида: sin x m cos x n dx .

а) Если один из показателей m или n – целое положительное нечётное число, второй любой то

подстановка sin x t ,

cos xdx d sin x dt или cos x t;

sin xdx dt быстрее приводит

кцели. Например,

		5		1 sin			2		x			2	d sin x					1 2sin			2	x sin	4
cos			x	1 sin			2		x				d sin x					1 2sin				x sin		xd sin x sin x 2 d sin x
																									1
																									1


	sin x								sin x											sin x
				2 sin x				2		d sin x									7					sin x 4 sin2 x	sin x 2 sin4 x	sin x c
				2 sin x				2		d sin x						sin x 2 d sin x 2								sin x 4 sin2 x	sin x 2 sin4 x	sin x c
								3

																								5	9
											4			2	x	2		4		c.
											4			2		2		4
					sin x	2							sin				sin		x
					sin x	2							sin				sin		x
											5					9

б) Оба показателя m и n – целые положительные чётные, тогда используют формулы:

sin x cos x	sin 2x	; sin2	x	1 cos 2x	;	cos2 x	1 cos 2x	.

2				2			2

Например,

sin4 x cos4 xdx 161 sin 2x 4 dx

1 x 1 sin 4x

64 2

1	3x		sin 4x

64		2	2

		1		1 cos 4x 2					1		1						2	4x dx
							dx					2 cos 4x cos
							dx					2 cos 4x cos
	16				2				64
		1 cos 8x					1			sin 4x			1		1
						dx		x						x		sin 8x			c
				2		dx		x			2		2	x	16	sin 8x			c
				2			64				2		2		16
	1				c.
			sin 8x
			sin 8x
16

в) Оба показателя чётные целые, но хотя бы один из них отрицательный, тогда используется подстановка tgx t или с помощью тригонометрических преобразований.

Например,

	tgx t
dx	sin x		t

sin4 x			1 t2
	dx	dt
		t2
	1

1 t2 2 dt				1 t 2		dt t 4 t 2 dt	t	3	t	1	c c ctgx	1	ctg 3 x.
		1 t
t	4		2	t	4		3		1
												3

С помощью тригонометрических преобразований:

dx		2		2	2		ctg3 x
			cos ec	x cos ec	xdx 1 ctg	x d ctgx ctgx		c .
sin	4						3
		x

г) Иногда удобно ввести тригонометрическую единицу:

sin2

x cos2 x

sin xdx

sin x cos

cos

sin x cos x

cos x 3 d cos x 2

tgx

sin 2x

2 cos

д) Иногда применяется метод интегрирования по частям.

Например,

cos2 x

udv uv vdu

cos x

u cos x

du -sinxdx

sin3 x

2sin2

sin x

cos xdx

v sin x

d sin x

sin

2sin

cos x

2sin2 x

Интегралы

вида:

sin mx cos nxdx,

m n; cos mx cos nxdx; sin mx sin nxdx,

преобразуются по формулам:

sin mx cos nx

sin

m n x sin

m n x ,

cos mx cos nx

cos m n x cos m n x ,

sin mx sin nx

cos

m n x cos m n x .

Например,

sin 3xcox5xdx

sin 8x sin 2x dx

cos8x

cos 2x c.

3) Интегралы вида: tgn xdx,

ctgn xdx,

n N,n 1 приводятся к табличным следующим

образом:

выделяется tg2 x sec2 x 1.

Затем

интеграл разбивают на сумму двух интегралов

(первый – степенной, а второй tgx n 2 dx ; с ним поступают так же).

Например,

tg5 xdx tg3 x sec2

x 1 dx tg3 xd tgx tg 3 xdx

tg 4 x

tgx sec2 x 1 dx

tg 4 x

tg 2 x

cos x

secn xdx cosecn xdx ,

если

n –

чётное целое

положительное число,

тогда

sec2 xdx d tgx , а

оставшаяся чётная степень sec x заменяют через tgx. sec2 x 1 tg2 x

Например,

sec6 xdx 1 tg 2 x 2 dtgx 1 2tg 2 x tg 4 x d tgx tgx 23 tg 3 x 15 tg 5 x c.

Интегрирование иррациональных выражений. Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной называется иррациональной. Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции.

Рассмотрим иррациональные функции интегралы, от которых с помощью подстановок

приводятся к интегралам от рациональной функции.

Интегрирование простейших иррациональностей.

a) Интеграл вида

,..., x s

сводится

к интегралу

от

рациональной

функции

R x, x n

подстановкой x tk , где k – общий знаменатель дробей

,…,

Например,

1 1

x t4

t 2 dt

x2 dx

t2 4t3dt

t2 dt

dt 4

4 x

dx 4t3dt

t3 1

43 4 x3 ln 4 x3 1 c .

сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой

б) R x, ax

b n ,..., ax b s dx

ax b tk , где k – общий знаменатель дробных показателей.

Например,

9 6t

t3 3 t

3 3

xdx

x 9 t6

5dt

t8 3t5

t3 3

x 9 3

3 x 9 6

6t5dt

6 t3 3 dt

18t c

x 9

18 6

x 9

с) R

ax b n x, cx d

ax b	r
	s
,...,		dx	сводится к интегралу от рациональной функции

cx d

подстановкой ax b tk , k – общий знаменатель дробных показателей. cx d

Например,

t2 1 2

; x

; dx

8tdt

t2 1

4 x 3

4 x

c c

7. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1. Вычисление определённого интеграла

а) Формула Ньютона-Лейбнца.

Теорема. Если f(x) – непрерывна на a, b то

f x dx F b F a ,

(7.1)

где F x

– любая первообразная для функции f x на a;b .

Например, вычислим определённый интеграл

tg 2 x

1 ln 2

4 tg3 xdx 4 sec2

x 1 tgxdx 4 tgxd

tgx 4 tgxdx

cos x

ln1

б) Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема. Если функция f x	непрерывна на a;b , а функция	x t непрерывно
дифференцируема на c; d и c a,	d b, a t b , то
b f x dx d f t ' t dt		(7.2)
a	c

–формула замены переменной в определённом интеграле. Например, вычислим определенный интеграл.

			2x 1 t2
	dx		1 2
4					t 1
0			x
	1			2
	1	2x 1		2
			dx tdt

x 0, t2		1, t 1	3 tdt		3	t 1	1
	2
x 4, t		9, t 3	1		1			dt
				1 t		1 t

	3		1			3	3 ln 4 1 ln 2 2 ln 2.

		1		dt t ln	t 1

1			t 1			1

в) Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема. Если функции u u x												и v v x - непрерывно дифференцируемые на a;b то
									b udv uv								b b vdu											(7.3)
									b udv uv								b b vdu											(7.3)
										a							a			a
– формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
Например,
1			u arctgx,					dv xdx						x2					1		1	1	x2 1					1
			u arctgx,					dv xdx

0	xarctgxdx				1					x	2					arctgx			0			0					2	dx
	xarctgxdx										2					arctgx												dx

		du 1 x2				dx, v 2								2							2		1		x
		du 1 x2				dx, v 2								2							2		1		x
		2		arctgx			x		arctgx				1		1			1						1
		2											1
			x																							.
																										.
				2		2		2					0		2 4 2 8 4 2
													0

7.2. Приложение определённого интеграла

а) Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограничена прямыми

x = a, x = b, (a < b), осью ox и непрерывной кривой y f x , y 0 .

Вычисляется по формуле

S b	f x dx	(7.4)
a

Пример 7.1. Найти площадь области, ограниченной линиями xy = 4; x+y=5

Решение: Построим область S (рис. 1) и найдём

абсциссы точек пересечения А, В: xy 4															,
														x y	5
y 5 x, x2 5x 4 0 x 1;														x 4,
									1					2
тогда S					4					4
						5	x				dx
						5	x				dx
			1							x
		x	2					4				1
								4

	5x			4 ln x					7				8ln 2 ед2 .


	2							1	2
								1

Пример 7.2. Найти площадь области, ограниченной линиями y2											2x 1; x y 1.
Решение: Построим область S (рис. 2) и				найдём					ординаты точек				пересечения А, В:
y2	2x 1
					,
x y 1
	x y 1, y2 2 y 1 1, y2 2y 3 0
	y1			1, y2				3.
	S			3					y2 1		y2	3		y3	3
				3					y2 1		y2	3		y3	3
				y 1						dy			y
				y 1				2		dy		2	y	6
			1					2			2	2		6	1
		16		5		1	.
				5			.
	3				3

7.3 Несобственные интегралы

Понятие определённого интеграла дано для конечного отрезка a;b и непрерывной на нём функции f x . Оно теряет смысл, если интервал интегрирования бесконечен или функция в

интервале интегрирования имеет точки разрыва 2го рода.	не ограничена на a;b , или
Интеграл называется несобственным, если функция f x	не ограничена на a;b , или
неограниченна сама область интегрирования.

7.4. Интегралы с бесконечными пределами (I рода)

Если f(x) непрерывна, a x , то по определению

	f x dx lim b	f x dx	(7.5)
a	b a

Если существует конечный предел в правой части формулы (7.5), то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел бесконечен, или не существует, то – расходящимся и значения не имеет.

Аналогично определяются интегралы:

b	f x dx lim	b	f x dx;
	a	a
	f x dx lim	c	f x dx lim b		f x dx.
	a	a	b	c

Если оба предела в правой части конечны, то интеграл называется сходящимся, если же хотя бы один из них бесконечный или не существует, то – расходящимся.

Итак, несобственные интегралы с бесконечными пределами – пределы определённых интегралов с переменными верхними или нижними пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.

Вычислить несобственные интегралы, или установить их расходимость:

lim

b d ln x

lim

lim 1

x ln

ln x

ln b

интеграл сходится и его значение равно 1.

lim

3 dx lim 3 3 x

3lim 3 4 3 a ,

3 x2

a a

интеграл расходится и значений не имеет.

3 cos xdx lim b cos xdx limsin x			b0	limsin b .

0	b 0	b		b

– предел не существует интеграл расходится.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание 1. Доказать совместность данных систем и решить по формулам Крамера.

2x1

3x2

3x3

1.1.

3x1

2x1

2x3

1.3.

2x1

2x3

3x3

1.5.

2x1

13.

3x1

2x2

4x3

4x2

5x3

1.7.

2x1

11;

2x2

2x1

2x3

4x3

1.9.

4x1

2x3

2x1

2x3

1.11.

3x1

2x2

3x1

1.13.

2x2

3x3

2x1

3x2

2x3

1.15.

2x1

2x2

3x3

3x1

3x2

2x2

3x3

1.17.

2x1

	x1		x2		2x3				4;
			3x2		x3
1.2.	2x1								1;
		x1	x2		x3		0.

	x1		2x2		x3			1;
		3x1	x2		2x3
1.4.									2;
			x2		2x3			0.
	x1
	2x1		x2	x3		1;
			x2	x3				1;
1.6.	3x1
		x1	x2	x3		5.

	2x1		x2		x3				0;
			4x2		x3			11;
1.8.	3x1
		x1	x2		x3				1.

		x1	2x2		x3				6;
			x2		x3
1.10.		2x1							7;
			3x2		x3				2.
		x1
		x1	2x2		2x3				1;
			x2		x3				6;
1.12.		2x1
			x2		3x3			5.
		3x1
		x1	2x2		x3				3;
			x2		2x3
1.14.		3x1							7;
			3x2		3x3				10.
		x1
		2x1	2x2		x3				2;
			x2		4x3
1.16.		3x1							4;
			2x2		2x3			5.
		x1
		x1	x2		3x3				2;
			2x2		x3
1.18.		x1							5;
			3x2		2x3			4.
		2x1

3x1

2x2

3x1

3x2

2x2

2x3

2x2

2x3

1.19.

1.20.

3x3

2x2

3x3

2x1

3x2

4x3

2x2

2x3

1.21.

1.22.

2x1

4x1

2x2

3x3

3x1

2x3

2x2

3x3

2x2

1.23.

1.24.

2x1

5x2

2x3

10.

2x1

x2 3x3

1.25.

3x1

13;

2x3

Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

3x2

4x4

3x2

4x4

6x2

4x3

8x4

6x2

4x3

8x4

2.1.

2x1

2.2.

2x1

3x2

3x3

4x4

9x2

2x3

12x4

4x1

2x2

3x3

4x2

5x3

4x4

15;

4x3

3x4

2x2

2x3

4x4

2.3.

2x1

2.4.

13;

4x1

7x2

18x3

11x4

2x1

6x2

11.

5x2

3x3

2x4

2x3

4x4

2x2

4x4

2.5.

2x1

2.6.

3x2

5x3

2x4

2x3

2x1

10x

3x3

4x4

3x3

2x4

3x1

2x2

2x4

4x3

3x4

10;

2.7.

2.8.

3x1

3x2

2x4

5x1

5x3

8x4

16;

10x

18.

x 7;

12x

x 1;

2.9.

2.10.

4x1

7x2

5x3

12x4

x 5.

7x3

2x4

3x2

8x3

4x4

3x2

2.11.

2x1

2.12.

2x1

4x1

2x2

19x3

3x1

4x2

2x3

6x4

11;

11x

11.

	x1		x2		x3		x4		4;
			3x2		x3		x4			1;
2.13.	2x1

	3x1			4x2		2x3		6x4		11;
	5x					4x		2x		11.
		1				3		4
	x1		x2		x3		x4		1;
			x2		2x3		2x4		2;
2.15.	3x1
			4x2		3x3		6x4		7;
	2x1
	7x		5x		6x		6x		6.
		1		2		3		4
	x1		x2		x3		x4		0;
		x1	2x2		3x3		4x4		0;
2.17.
			2x2		x3		5x4		0;
	3x1
		x	5x		x		8x		0.
		1		2		3		4
	x		2x		2x		2x		5;
		1		2		3		4
	x		2x		x		2x		1;
2.19.		1		2		3		4
	x1			2x2		4x3		5x4		13;
	x		2x		3x		4x		9.
		1		2		3		4
	x1		2x2		4x3		3x4		1;
			3x2		3x3		2x4		2;
2.21.	2x1
			9x2		x3		8x4			3;
	4x1
		x	6x		4x		8x		4.
		1		2		3		4
		x1		x2		x3		x4		10;
			x2		2x3		x4		2;
2.23.	2x1
			2x2		x3		3x4			2;
	3x1
	2x			4x				x		6.
		1		2				4
	x1		x2		x3		x4		2;
		x1		x2		x3		x4		14;
2.25.
		x1	2x2		3x3		5x4			4;

	2x		x		x		2x			7.
		1		2		3		4

	x			x		x		x		7;
		1		2		3		4
	x			x		x		x		1;
2.14.		1		2		3		4		1;
	x1			x2		x3		x4
	x			x		x		x		5.
		1		2		3		4
	x1			x2		x3			x4	2;
		2x1		x2		3x3			4x4	0;
2.16.
		4x1		x2		x3			2x4	4;

	5x			2x					x 6.
		1			2				4
				x2		x3			x4	3;
		x1	x2			6x3			3x4		3;
2.18.
				5x2		7x3			4x4	5;

	2x		3x			5x			2x 1.
		1		2			3		4
	x			x		2x		3x 1;
		1		2		3			4
	x			x		3x		2x 1;
2.20.		1		2		3			4
	x1			x2		x3		4x4 1;
	x			x		4x			x 1.
		1		2		3			4
	x1		2x2			3x3			x4	2;
		x1	x2			6x3			3x4		3;
2.22.
			2x2			2x3				1;
	2x1								x4
				x2		x3			x4	3.

	x1		4x2			5x3			6x4	0;
			2x2			x3			4x4	0;
2.24.	3x1
			3x2			2x3				0;
	2x1								x4
	4x		x			4x			9x 0.
		1		2			3		4

A1 A 2, A1 A 4 ; б) длину высоты,

A1, A 2, A 3, A 4 . Найти,

Задание 3. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках


используя векторы (a, b) : а)							косинус угла между ребрами
опущенной из вершины						A 4	на грань A1 A 2 A 3 ; в) уравнение ребра A 1 A 4
плоскости		A1 A 2 A 3 ; д)			уравнение высоты, опущенной из вершины A 4
A1 A 2 A 3 ; е) угол между ребром A 1 A 4										и плоскостью A1 A 2 A 3 .
3.1. A1 7; 2; 4 ,				A 2 7; 1; 2 , A 3 3; 3; 1 ,						A 4 4; 2; 1 .
3.2. A1 1; 3;	6 ,		A 2 2; 2; 1 ,		A 3 1; 0; 1 , A 4 4; 6; 3 .
3.3. A1 1; 2; 0 ,			A 2 3; 0; 3 ,			A 3 5; 2; 6 ,			A 4 8; 4; 9 .
3.4. A1 5; 1; 4 , A 2 1; 2; 1 , A 3 3; 3; 4 , A 4 2; 2; 2 .
3.5. A1 1; 1; 1 ,			A 2 1; 2; 4 ,			A 3 2; 0; 6 ,			A 4 2; 5; 1 .
3.6. A1 6; 1;	4 ,		A 2 2; 2; 5 , A 3 7; 1; 3 ,							A 4 1; 3; 7 .
3.7. A1 1; 2;	6 ,		A 2 0; 3; 8 ,		A 3 5; 1;			4 ,		A 4 3; 2; 6 .
3.8. A1 1; 2; 3 ,			A 2 3; 3; 2 ,		A 3 2; 3; 1 ,			A 4 12; 0; 0 .
3.9. A1 2; 3; 5 , A 2 0; 2; 1 ,						A 3 2; 2; 3 , A 4 3; 2; 4 .
3.10. A1 1; 1; 1 ,				A 2 2; 0; 2 ,		A 3 2; 2; 2 ,			A 4 3; 4; 3 .
3.11. A1 3; 1;		4 ,		A 2 1; 6; 1 , A 3 1; 1;				6 ,		A 4 0; 4; 1 .
3.12. A1 1; 4;		2 ,		A 2 3; 1; 2 ,		A 3 5; 2; 4 ,			A 4 2; 3; 4 .
3.13. A1 1; 1; 5 ,				A 2 2; 5; 1 ,	A 3 1; 4; 3 , A 4 5; 3; 2 .
3.14. A1 1; 1; 3 ,				A 2 3; 5; 4 ,		A 3 3; 2; 4 ,			A 4 0; 4; 1 .
3.15. A1 4; 2; 5 ,				A 2 0; 7; 2 ,		A 3 0; 2; 5 ,			A 4 1; 4; 0 .
3.16. A1 1; 1; 5 , A 2 4; 4; 1 , A 3 1; 2;									0 , A 4 5; 1; 5 .
3.17. A1 9; 5; 5 ,				A 2 3; 7; 1 , A 3 5; 7; 8 ,						A 4 6; 9; 2 .
3.18. A1 1; 1; 1 ,			A 2 4; 4; 4 ,			A 3 3; 5; 5 , A 4 2; 4; 7 .
3.19. A1 0; 0; 1 ,				A 2 2; 3; 5 ,		A 3 6; 2; 3 ,			A 4 3; 7; 2 .
3.20. A1 1; 2; 3 ,				A 2 2; 4; 1 , A 3 7; 6; 3 ,						A 4 4; 3; 1 .
3.21. A1 0; 0; 0 ,				A 2 5; 2; 0 ,		A 3 2; 5; 0 ,			A 4 1; 2; 4 .
3.22. A1 2; 4; 3 ,				A 2 7; 6; 3 ,		A 3 4; 9; 3 ,			A 4 3; 6; 7 .
3.23. A1 3; 5;		4 ,		A 2 5; 8; 3 ,		A 3 1; 9; 9 ,			A 4 6; 4; 8 .
3.24. A1 3; 3; 9 ,				A 2 6; 9; 1 ,		A 3 1; 7; 3 ,			A 4 8; 5; 8 .
3.25. A1 6; 6;		2 ,		A 2 5; 4; 7 ,		A 3 2; 4; 7 , A 4 7; 3; 0 .

; г) уравнение на плоскость

Задание 4. Вычислить пределы.

4.1. a)

lim

6x 5

;

б)

lim

cos x cos3 x

;

x 5 2x2

11x 5

x 0

4.2. a)

lim

4x6 x 5

;

б) lim

sin x(1 x)

;

x 1

lim

1 cos 2x

4.3. a)

lim

4x 3

;

б)

;

x2 9

x 3

x 0

x sin x

4.4. a)

lim

3x2 14x 5

;

б)

lim

;

7x 10

x 5

x 0 sin x tg5x

x 4		3x
в) lim		.

x x 8

			1 3x 2
в) lim 1					.

	x		2x
	x 3			x 5
в)	lim			.

	x x	2
	2x 3 5x 3
в)	lim					.

	x 2x			41

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]