Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и контрольные задания по высшей математике-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Решение. Для решения этой задачи надо знать какую-либо точку прямой и ее направляющий вектор s . Выберем точку на прямой следующим образом: положим z = 0, тогда для определения

абсциссы x и ординаты y этой точки получим систему уравнений x 2 y 2 0;

2x 2 y 5 0.

Решая систему, находим x 1, y

. Итак,

на прямой

известна точка (1;

; 0) .

Направляющий вектор прямой находим по формуле

;

( n ; n

– векторы нормалей

1 2

плоскостей), так как он принадлежит обеим плоскостям и, следовательно, удовлетворяет условиям s n1, s n2 .

1; 2; 3 ;

2; 2; 1 ,

1 3

1 2

2 3

4i 7 j 6k , т.е. s

= (-4; -7; -6).

2 1

2 2

x 1

y _

z 0

x 1

Тогда канонические уравнения прямой имеют вид:

или

–

искомые уравнения прямой.

2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве

m1, n1,

p1 è

m2 ,

Пусть

n2 ,

– направляющие

векторы

двух

прямых

пространстве. Угол между двумя прямыми есть угол между их направляющими векторами, т.е.

cos

s1 s2

m1m2 n1n2 p1 p2

m2 n2

m2 n2 p2

m1 m2 n1 n2

Тогда на плоскости s1 m1 , n1 è

s2 m2 ,

n2 :

cos

Условие параллельности двух прямых:

, т.е.

Условие перпендикулярности двух прямых:

(

) 0,

ò.å. m1m2 n1n2 p1 p2 0.

Угол между двумя плоскостями есть угол между

их нормальными векторами. Пусть

(A1, B1, C1 ) è

(A2 , B2 ,

C2 )

–

нормальные векторы двух плоскостей в пространстве,

тогда

A1 A2 B1B2

C1 C2

cos

B2 C2

Условие параллельности двух плоскостей.

n || n ,

т.е.

Условие

перпендикулярности

двух

плоскостей.

(

) 0 ,

т.е.

A1 A2 B1B2

C1 C2 =0.

2.6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями

x xo

y yo

z zo

, а плоскость p –

общим уравнением

Ax By Cz D 0 .Углом между прямой и плоскостью называется острый

угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Он является дополнительным до

к углу

A, B, C

между векторами

(рис. 7).

A, B,C

π/2-φ

m, n,

Рис. 7

A m B n C p

n, s

Тогда sin cos

B2 C2

m2 n2

т.е.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. n|| s ,

Условие

параллельности

прямой

плоскости.

(

) 0 A m B n C p 0.

Пример 2.5. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку

M1 (1;

2; 3)

перпендикулярной к прямым

x 5

y 4

z 3

x 2

y 4

z 1

x 1

y 2

z 3

n, p

Решение.

Искомое уравнение

прямой

будет

где

–

направляющий вектор прямой. Так как искомая прямая перпендикулярна двум заданным прямым, то

		3 m 1 n 2 p 0;
s s1,	s s2	3 m 1 n 2 p 0;
s s1,	s s2		m 5 n 4 p 0.
		2	m 5 n 4 p 0.

Выразим две неизвестные через третью. Первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым уравнением, получим 8m 3n 0 m 83 n . Подставим m в любое уравнение (пусть во

второе), получим

2 83 n 5n 4 p 0 34 n 5n 4 p 0 p 1716 n.

Тогда искомое уравнение пример вид:

			x 1			y 2		z 3					x 1			y 2			z 3		.
																					.
	3					n		17						6	16		17
					n						n
				8	n				16		n							x 3				y 6	z 7
Пример 2.6. Найти величину							угла			между				прямой				x 3				y 6	z 7	и плоскостью
Пример 2.6. Найти величину							угла			между				прямой									2	и плоскостью
4x 2y 2z 3 0.																	1			1			2
4x 2y 2z 3 0.
Решение. sin		4 1 2 1 2 2						6						1			π	.

	1 1 4 16 4						4		6			24		2			6
	1 1 4 16 4						4		6			24		2			6

3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

3.1. Функция. Предел функции

Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x X по определенному правилу (закону) поставлен в соответствии единственный элемент y Y , то говорят, что на

множестве Х определена функция y f (x) , где х – аргумент или независимая переменная, а у –

функция или зависимая переменная. Относительно самих х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается D(f). Множество всех y Y называется множество значений функции f и обозначается E(f).

Число А называется пределом функции y f (x) в точке x0 (или при x x0 ), если для любого 0 , можно указать такое число ( ) 0 , что для всех х, удовлетворяющих неравенству | x x0 | , выполняется неравенство f (x) A . Тот факт, что А является пределом функции

y f (x) в точке x0	записывается в виде lim f (x) A .
	x x0
Если функция	f (x) определена в точке x0 X и в некоторой ее окрестности существует
предел функции при x x0 , равный значению функции в этой точке, т.е.		lim f (x) f (x0 ) , то
		x x0

функция f (x) называется непрерывной в точке x0 X . Функция непрерывна на множестве Х,

если она непрерывна в каждой точке этого множества. Всякая элементарная функция непрерывна в области определения. Следовательно, для нахождения предела непрерывной функции в любой точке области определения, достаточно вычислить значение функции в этой

точке. Под

знаком

непрерывной

функции можно переходить к пределу:

lim f (x) f lim (x) .

x x0

Пример 3.1. Найти lim

x2 3x 2

2x2 2x

x 1

Решение.

lim

x2 3x 2

1 2

3 1 2

2 1

x 1 2x2 2x

3.2. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной lim C C.

x x0

Теорема 2. Пусть lim f (x) A и lim g(x) B , тогда

x x0

lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B.

x x0

lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B.

x x0

lim c f (x) c lim f (x) c A.

x x0

f (x)

lim f (x)

B 0 .

lim

x x0

g(x)

lim g(x)

x x0

Из 2) теоремы 2 следует, что если lim f (x) A , то

x x0

lim f (x) n An , n N; lim n

n четное

f (x)

A A 0,

x x0

Пример 3.2. Найти предел lim

x2 3x 2

x2 2x 5

x 1

Решение. Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы, произведения,

получим

3x 2

lim

lim x2 3lim x lim 2

1 3 2

lim

x 1

x2 2x 5

2x 5

lim x2 2lim x lim5

x 1

lim

1 2 5

x 1

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Если

вычисление

пределов

приводит

неопределенным выражениям вида

, , 0 ,

необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой ищем, т.е. «раскрыть неопределенность». Как это делается покажем на конкретных примерах.

Пример 3.3. Найти пределы: а) lim
				x 1
	3x4 2		x		;
г) lim	3x4 2	; д) lim		x2 5x
г) lim		; д) lim		x2 5x
x 1	x8 3x 4	x

3x2 x 2

; б)

lim

1 3x

; в)

lim

5x2

6x 1

;

4x2 5x 1

x 0

6x2

4x 2

е) lim

x 1

1 x 1

Решение. а) При х = 1 числитель и знаменатель обращается в нуль, т.е. получается неопределенность вида 00 . Преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив на множитель x 1 0 , получим

							2				2			2
		2	x 2		3(x 1)	x			3 x			3 1
		2			3(x 1)	x			3 x			3 1
lim	3x			lim			3	lim			3			3	5	.
lim	4x2 5x 1			lim			1	lim			1			1		.
x 1	4x2 5x 1			x 1			1	x 1			1			1	3
					4(x 1)	x			4	x		4	1
					4(x 1)	x			4	x		4	1
							4				4			4

б) Имеем неопределенность вида

. Избавимся от иррациональности в числителе, умножив

числитель и знаменатель дроби на сопряженное к числителю выражение 1 3x 1:

lim

1 3x

1 3x 1

lim

1 3x

lim

x 0

1 3x

x 0 5x

1 3x

lim

x 0 5x

1 3x

x 0 5

1 3x

в) Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х2:

				6		1
	5x2 6x 1		5					5 0 0		5
lim		lim			x		x2				.
	6x2 4x 2			4		2		6 0 0
x		x							6
			6
					x		x2

г) Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на х4:

3x4 2

lim

x 1

x8 3x 4

x 1

3 4

д) Имеем неопределенность вида

Умножим и разделим выражение в скобках на

сопряженное:

lim

lim x

lim

x2 5x

x x

lim

x2 5x

е)

Неопределенность

вида

преобразуется

к неопределенности

привидением

функции к общему знаменателю.

1 x x2

lim

1 x

(1 x)

1 x x2

x 1

1 x 1

1 (1 x) 1 x

lim

x2 x 2

lim

(x 1)(x 2)

lim

(x 2)

x 1 (1 x) 1 x x2

1 (1 x) 1 x x2

x 1

1 x x2

3.3. Замечательные пределы

При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, часто используют

предел lim sin x 1 , который называют первым замечательным пределом. Этот предел

x 0 x

применяется

для раскрытия

некоторых

неопределенностей

вида

Из данного равенства

вытекает:

tgx

sin x

lim

1; lim

lim

1 1

x 0

sin x

x 0

cos x

x 0

cos x

arcsin x

arcsin x y

x sin y

arctgx

lim

1; lim

x 0

y 0

sin y

x 0

Пример 3.4. Найти пределы: а)

lim

1 cos x

;б)

lim

2x arctgx

3x2

2x arcsin x

x 0

2 x

x 2

1 cos x

2sin

sin

Решение. а) lim

lim

x 0

3x2

x 0

3x2

3 x 0

4 6

2x arctgx

2 arctgx

2 1

б) lim

lim

arcsin x

2 1

x 0

arcsin x

			1	x	e называют вторым замечательным пределом. Если в этом равенстве
Предел	lim 1

	x		x
положить	1	( 0 при				x ), получим другую форму записи второго замечательного

	x

предела lim 1 e .

Число е называют числом Эйлера. Это иррациональное число (е = 2,718281828… ( e 2,72 ). Логарифмы по основанию е называют натуральными логарифмами и обозначают lnx, т.е. ln x loge x . Второй замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида

1 .

x 2

; в) lim 5 2x

Пример 3.5. Найти пределы: а) lim

; б) lim x

1 tg3x

x2 4

x x 3

x 0

x 2

Решение. а) Так как lim

lim

1 , имеем неопределенность вида

1 . Для ее

x x 3

раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дробей целую часть:

x 2		x
lim

x x 3

x 3

x 3 5

x 3

5 x

5 5

x 3

lim

x 3

lim

lim e

x 3

		1			1

б) lim x 1 tg3x lim 1 tg3x x
			1 lim 1	tg3x	tg 3x
x 0	x 0		x 0

tg3x		tg3x
x		tg3x	3 e 3.
x	lim e	3x	3 e 3.
	x 0

	3x	1 lim 1 (4 2x)	3x			1
â) lim 5 2x				lim 1	(4	2x)
	x2 4		x2 4				4 2 x
x 2		x 2		x 2

3x(4 2 x)

x2 4

	6 x( x 2)		6 x		12
lim e( x 2)( x 2)		lim e		e			e 3.
			x 2			4
x 2		x 2

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение производной. Пусть функция y f (x) определена в некоторой


окрестности	фиксированной	точки		x0 и пусть х – произвольная точка		этой
окрестности.	Тогда x x0 x		–приращение		аргумента (положительное	или
отрицательное) такое, что		x0 x		принадлежит окрестности этой точки и
приращение функции в точке x0			выразится формулой f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ).
Производной функции		y f (x)		в точке	x0 называется предел отношения

приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

стремится

нулю.

Обозначение

производной

точке

x0 :

y '(x ),

f ' x

df x0

. Следовательно, по определению

x x

f ' x	lim f (x0 )		lim	f (x0 x) f (x0 )	.

0	x 0	x	x 0	x

Таким образом, производная функции в точке x x0 (если существует) – есть

определенное число. Если же производная существует в произвольной точке х, то она является функцией от х и обозначается:

y ', f '(x), dy , df (x) . dx dx

Операция нахождения производной от функции f(x) называется

дифференцированием этой функции. Дифференцируемой называется функция,

которая имеет производную.

Геометрический смысл производной. Пусть кривая L является графиком функции y f (x) , а точка M0 x0 , y0 L. Тогда значение производной функции f (x)

при x x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 , т.е. f (x0 ) tg k (k – угловой коэффициент касательной).

Экономический смысл		производной. Пусть (t) – объем						продукции,
произведенной за	время	t .	Тогда	отношение		является средней
произведенной за	время	t .	Тогда	отношение	t	является средней
					t
производительностью	за	время	t .	Производная	'(t) lim			называется
						t 0	t

производительностью в момент времени t . В экономических моделях наряду с

	y								y / y
отношением	x	рассматривают отношение относительных приращений							x / x .
Эластичностью функции y f (x) в точке х называется предел
		E	y lim y / y	lim y	x	f ' x	x	.
		E	y lim y / y	lim y		f ' x		.
		x	x 0 x / x	x 0 x y			y
			x 0 x / x	x 0 x y			y

Эластичность Ex ( y) задает приближенный процент прироста функции при изменении независимой переменной на 1%.

	4.1. Основные правила дифференцирования
Пусть с – постоянная, u(x)		и v(x)		– дифференцируемые функции. Тогда
1.	c ' 0.	4.	(c u) ' cu '.
			u '		u 'v uv '	v 0	.
2.	(u v) ' u ' v '.	5.

			v		v2

3.(uv) ' u 'v uv '.

Если y f (u) , u u(x) , где u(x) – дифференцируема в точке x, а функция f (u) дифференцируема в соответствующей точке u u(x) , то сложная функция y f (u(x)) дифференцируема

вточке x и ее производная y ' fu' (u)u '(x).

4.2.Таблица производных основных элементарных функций

1. un ' n un 1 u ', n R.

2. au ' au ln a u ', a 0, a 1. 3. eu ' eu u '.

4.	loga u '				u '	,	a 0,	a 1.

				u ln a
				u ln a
5.	ln u '	u '	.
5.	ln u '		.
		u
6.	sin u ' cos u u '.
7.	cos u ' sin u u '.

8. tgu '		u '					.

		cos2 u
9. ctgu '				u '						.

			sin2 u
10.	arc sin u '								u '				.

								1 u2
								1 u2
11.	arccosu '										u '			.


									1 u2
12.	arctgu '					u '					.
12.	arctgu '				u2						.
	1				u2
13.	arcctgu '								u '			.
13.	arcctgu '								u2			.
					1				u2

Пример 4.1. Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные

y x5arctgx ;

следующих

функций:

а)

б) y 3

2 x4 ;

в)

y exarctgex

1 e2x ; г)

y arcsin

2x2

1 x4

Решение. а)

y ' (x5 )'arctgx x5 (arctgx) ' 5x4arctgx x5

5x4arctgx

1 x2

б) y ' (2

x4 )3

(2 x4 )

3 (2 x4 ) '

33 (2 x4 )2

в) Запишем данную функцию в виде y exarctgex

ln 1 e2 x , получим

y ' exarctgex ex

e2 x 2 exarctgex

e2 x

exarctgex .

2 1 e2 x

e2 x

1 e2 x

4x 1 x4 2x2 4x3

4x 1 x4 2x4

4x 1 x4

г) y '

1 x4 2

1 x4

1 2x4 x8

1 x4

4.3. Производные высших порядков

Производная

y ' f '(x)

функции

y f (x)

является функцией от х и называется первой

производной (или производной первого порядка) этой функции.

y f (x)

Второй производной (или производной второго порядка)

функции

называется

y ",

f "(x),

d 2 y

производная от

ее

первой

производной

и обозначается

Таким образом,

dx2

y" ( y ') ' .

Производная от второй производной, если она существует, называется производной


третьего порядка и обозначается y "',	f "'(x),	d 3 y	. Итак, y"' ( y '') ' . Аналогично определяются

		dx3
производные более высоких порядков.		производной) функции y f (x)
Производной n-го порядка (или n-ой				называется
производная от производной (n-1)-го	порядка, т.е. y n ( y n 1 ) ' . Первые три			производные

обозначаются штрихами, последующие – римскими цифрами или числами в скобках ( y 4	или y IV
– производная четвертого порядка).

Пример 4.2. Найти производную четвертого порядка функции y ekx .

Решение. y ' ekx ' kekx ;	y" ekx " kekx ' k 2ekx ; y '" kekx " k 2ekx ' k3ekx ,...;	yn knekx .
4.4. Неявная функция и ее дифференцирование
Пусть функция y f (x)	задана уравнением F x, y 0 , т.е. уравнением,	связывающим

независимую переменную х с функцией у, не разрешенным относительно у. В этом случае говорят, что функция y f (x) задана неявно.

Производную от функции F x, y 0 можно найти дифференцированием по х обеих частей

этого уравнения с учетом того, что у – функция от х. Полученное после дифференцирования уравнение будет содержать x, y, y ' . Разрешая его относительно y ' , найдем производную y '

функции y f (x) , которая в общем случае зависит от х и у.

Продифференцировав по х первую производную, рассматривая у как функцию от х, получим вторую производную от неявной функции, в которую войдут x, y, y ', y" . Подставляя уже

найденное значение y ' в выражение второй производной, выразим y " через х и у. Аналогично поступаем для нахождения yIII , yIV и более высоких порядков. Пример 4.3. Найти производную второго порядка неявной функции y x ex y .

Решение.

Найдем

первую

производную

1 y ' ex y (1 y ') .

Следовательно,

y '

ex y 1

x y 1

, так как

ex y x y по условию.

Дифференцируем последнее равенство

ex y 1

x y 1

по х, получаем

1 y ' x y 1 1 y ' x y 1

2 1 y '

x y 1 2

x y

4 x y

x y 1

Подставим в выражение для

y " значение y ' : y"

x y 1 2

x y 1 3

4.5.Дифференциал функции

Спонятием производной теснейшим образом связано фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.

	Пусть	функция y f (x)			дифференцируема в		окрестности	точки	x0 . Производная этой
функции		в	точке	x	0	определяется	равенством	lim	y f ' x .		Тогда
					0			x 0	x	0
y f ' x								x 0	x
y f ' x		x ,	y f ' x	x x x где x – бесконечно малая функция при x 0 .
x	0		0
x

Приращение функции представлена в виде суммы двух слагаемых, первое из которых


f ' x0 x называется главной частью приращения функции y f (x) в точке x0 .
Дифференциалом функции y f (x)		в точке		x0	называется главная часть ее приращения,
линейная относительно x	и обозначается		dy, df x0 dy f ' x0 x .					Но дифференциал и
приращение независимой	переменной	х	равны		между	собой,	т.е.	x dx ,	поэтому
dy f ' x0 dx . Следовательно, дифференциал				функции		y f (x)	в	точке	x0 равен

произведению производной функции в этой точке на дифференциал независимой переменной.

Пример 4.4. Найти дифференциал функции y cos4 5x в точке х.

Решение. Дифференциал в произвольной точке х находится по формуле dy f ' x dx . Для нашего примера dy 4cos3 5x sin 5x 5dx 20cos3 5x sin 5xdx.

4.6. Правило Лопиталя

Ранее нами были рассмотрены элементарные способы нахождения предела функции для случаев, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции. Весьма эффективным средством нахождения предела для указанных случаев, является способ, основанный на применении производной. Этот способ получил название правила Лопиталя.

Пусть функции f (x)

и (x)

непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0

обращаются в нуль в этой точке

f (x0 )

= (x0 ) =0. Пусть '(x0 ) 0 в окрестности точки

x0 .

Если существует предел

f ' x

, то lim

f x

lim

f ' x

lim

x x0

' x

x x0

' x

Полученную формулу сформулируем в виде правила Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если этот предел существует или равен .

Это правило остается верным и в случае, если

lim f x и	lim x , т.е.		f x		f ' x
		lim		lim		.
			x		' x
x x0	x x0	x x0		x x0

Правило Лопиталя справедливо и в случае, если x .

Если частное	f ' x	в точке x		вновь будет представлять неопределенность вида
Если частное	' x	в точке x	0	вновь будет представлять неопределенность вида
	' x

f '(x) и '(x) удовлетворяют условиям, сформулированным для функций f (x) можно снова применять правило Лопиталя и т.д.

0 или и

и (x) , то

Пример 4.5. Найти пределы: а) lim	e2 x 1	; б)	lim	1	cos ax	; в) lim	x2 1	; г)
					cos bx		52 x
x 0	sin x		x 0	1		x

lim

;

x 1

x 1 ln x

д) lim xctg2x ; е)

lim tgx 2cos x .

x 0

x 2

e2 x 1

2e2 x

Решение. а) lim

lim

x 0

sin x

x 0

cos x

1 cos ax

a sin ax

a2 cos ax

б) lim

lim

1 cos bx

x 0

b sin bx

x 0

b2 cos bx

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]