Методические указания и контрольные задания по высшей математике-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

можно указать такие миноры:

Например, в матрице A

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

1.3. Ранг матрицы

Минором k-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов.

– для 2-го порядка:	1	2	минор			a11	a12		,		4	4	минор	a21	a24	и т.д.;
– для 2-го порядка:	4	5	минор			a	a		,		7	7	минор	a	a	и т.д.;
						22		22						31	34
		2	3		1	3	1			2	3	1
	1	2	3		1	3	1			2	3	1
– для 3-го порядка:	4	5	6	,	4	6	4	,		5	6	4	.
	7	8	9		7	9	7			8	9	7

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Обозначается r(A), rang(A). Например,	3		2	2	, r( A) 1	, т.к. все миноры 2-го порядка
Обозначается r(A), rang(A). Например,	A				, r( A) 1	, т.к. все миноры 2-го порядка
		0	0	0

равны нулю.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Метод элементарных преобразований. Этот метод основан на следующей теореме. Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. К элементарным

преобразованиям матрицы относятся:

1.Перестановка двух строк (столбцов).

2.Умножение какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3.Прибавление к какой-либо строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

Путем элементарных преобразований исходную матрицу можно привести к трапециевидной форме:

b		b	...	b	...	b
	n	12		1k		1n
	0	b22	...	b2k	...	b2n
	0	0	...	bkk	...	bkn	,

	0	0	...	0	...	0
	0	0	...	0	...	0
	0	0	...	0	...	0

где элементы bn , b22 , ..., bkk отличны от нуля. Тогда ранг полученной матрицы равен k.

									2		1	5	6
	Пример 1.6. Найти ранг матрицы									1	1	3	5	методом элементарных преобразований.
	Пример 1.6. Найти ранг матрицы									1	1	3	5	методом элементарных преобразований.
										1	5	1	3
										1	5	1	3
	2		1 5	6	1 1 3						5
		1	1 3	5		2	1			5	6
	Решение.	1	1 3	5		2	1			5	6
		1	5 1	3		1	5 1				3
		1	5 1	3		1	5 1				3
	Умножаем первую строку на (-2) и прибавляем ко второй,														1		1	3	5
	Умножаем первую строку на (-2) и прибавляем ко второй,
																0	3	1	4
	затем первую строку умножаем на (-1) и прибавляем к третьей строке.																6	2	8
																0	6	2	8
Умножаем вторую строку на (-2)							1		1		3	5
Умножаем вторую строку на (-2)									3		1	4	r 2.
								0	3		1	4	r 2.
и прибавляем к стретьей строке.														A
и прибавляем к стретьей строке.
								0	0		0	0

1.4. Системы линейных уравнений (СЛАУ)

Линейной системой m уравнений с n неизвестными x1, x2 , ..., xn называется система вида

... a

b ;

... a

b ;

22 2

................................................

x a

... a

b .

Числа a11, a12 , ..., amn называются коэффициентами системы, b1, b2 , ..., bm – ее свободные члены. Если все bi , i 1, m равны нулю, то система однородная, в противном случае

– неоднородная.

Линейную систему можно записать в матричной форме:							A X B , где
a11					b
a11		a12	a1n			1
		a	a	– матрица системы;	B	b	– матрица-столбец свободных
A a		a	a	– матрица системы;	B	2	– матрица-столбец свободных
	21	22	2n
a		a	a
	m1	m2	mn		bm
					bm
членов;
	x
	1
X x2		– матрица-столбец неизвестных.


xm

Матрица А/В называется расширенной матрицей системы и имеет вид:

a	a	a
11	12	1n
A / B a21	a22	a2n
	am2	amn
am1	am2	amn

b1 b2 . bm

Решением системы m уравнений с n неизвестными называется совокупность значений неизвестных x1 a1, x2 a2 , ..., xn an , при подстановке которых, все уравнения системы

обращаются в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае она называется несовместной.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, т.к. имеет нулевой решение.

Решение невырожденных систем линейных уравнений

Система n уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если A 0 . Правило Крамера. Невырожденная система имеет единственное решение, которое можно

найти по формулам x

, i

, где

– определитель, полученный из заменой

1, n

i-го столбца на столбец свободных членов.

3x1

4x2

x3 17,

x3 0,

Пример 1.7. Решить систему линейных уравнений 2x1

3x2 5x3 8.

2x1

(n – число неизвестных), то система имеет единственное решение; 3) если

									3			4	1
										2		1		. Определитель 15 8 6 2 9 40 48.
Решение. Матрица системы A										2		1	1	. Определитель 15 8 6 2 9 40 48.
										2		3
										2		3	5
		4	1											3		17	1
	17	4	1											3		17	1
1	0	1 1		85 32 0 8 51 0 96; 2										2		0	1	0 34 16 0 24 170 144;
	8	3	5											2		8	5
								3	4	17
								3	4	17
						3		2	1		0	24 0 102					34 0 64 48.
								2	3		8
x 1		96	2;		x 2		144		3;		x	3		48		1.
x 1			2;		x 2		144		3;		x	3				1.
1		48			2		48				3				48
		48					48								48

Решение произвольных систем линейных уравнений

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы r(A) = r(A/B).

При этом возможны 3 варианта: 1) если r(A) < r( A / B) – система несовместна; 2) r(A) = r(A / B) n

r(A) = r(A / B) n , то система имеет бесчисленное множество решений.

Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы (А/В) к трапециевидной форме. Такой матрице соответствует система, которую легко решить, начиная с последнего уравнения.

	x		x	x 4;
		1	2		3
Пример 1.8. Исследовать систему уравнений	x		2x		3x	0; и в случае совместности
		1		2	3
	2x1				2x3	16.

решить ее.

Решение. Приведем к трапециевидной форме расширенную матрицу системы. Первую строку умножим на (-1) и прибавим ко второй; первую строку умножим на 2 и прибавим к третьей. Вторую строку умножим на (-2) и прибавим к третьей.

1		1	1	4	1		1	1	4	1 1			1	4

			3					2					2
	1	2		0		0	1		4		0	1		4	.
	2 0		2	16		0	2 4		8		0	0	0	0

В результате элементарных преобразований над строками получим систему равносильную исходной. Выберем в качестве базисного минор, стоящий в первых двух строках и столбцах:

	1	1	1.	Тогда	x	и x	– базисные переменные,	а	x	– свободная переменная. Придадим
	0	1			1	2			3
	0	1
свободной переменной произвольное значение x3 C ,									тогда со второго уравнения x2		2x3	4
следует,				что x2 2C 4 .			Из первого уравнения	x1 x2		x3 4 следует, что x1 x2	x3	4 .
Следовательно,					x1 2C 4 C 4 C 8. Общее решение системы (-С - 8; 2С + 4; С).

Для существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы r(A) = k < n (n – число неизвестных). Тогда общее решение однородной системы может быть записано в виде

X C1E1 C2 E2 ... Cn k En k ,

где Ei – матрицы-столбцы, которые называются фундаментальной системой решений.

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1. Векторы. Операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается AB (или одной буквой a, b , …). Длина отрезка АВ называется длиной или

модулем вектора AB и обозначается

. Вектор,

длина которого равна нулю, называется

нулевым вектором и обозначается 0

или просто 0. Вектор, длина которого равна единице,

называется единичным вектором и обозначается e .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением

вектора a ,

называется ортом вектора a и обозначается a o .

Два ненулевых вектора

называются

противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления. Вектор, противоположный a , обозначается - a (вектор, противоположный AB будет BA , т.е.

BA = - AB ).

Векторы a è b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на

параллельных прямых, записывают

a || b . Три вектора называют компланарными, если они

лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Суммой двух векторов a è b

называется вектор c , соединяющий начало вектора a

концом вектора b , отложенного от конца вектора a (правило треугольника).

Замечание. На векторах a è b можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ

будет их суммой

, вторая – разностью

. Такой способ сложения

вычитания векторов называется правилом параллелограмма.

на число 0

называется вектор

, который имеет

Произведением вектора

длину | | |

| и вектор

направление вектора

, если 0 и противоположное

имеет

направление, если 0 .

Углом между векторами a и b называется

наименьший угол , на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором.

прa b

Проекцией вектора b на вектор a

называется число, равное длине | a | , умноженное на

cos . Обозначается пр

= |

| ∙ cos .

Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений.

Скалярное произведение –

Векторное произведение –

a b .

Смешанное произведение трех векторов –

abc

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению

длин

этих

векторов

на

косинус

угла

между

ними,

т.е.

| |

| cos

cos

| a | |b |

Таким образом

. Например,

| |

cos 0o

|2 .

|b|×пр

= |a|

×прa

Векторным

произведение

неколлинеарных векторов

называется

вектор

a и b

c a, b , определяемый условиями:

, т.е.

;

вектор c

перпендикулярен векторам

2)длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах a è b как на сторонах, т.е. c a b sin ;

3)векторы a , b , c образуют правую тройку, т.е. при наблюдении из конца вектора c кратчайший поворот от a и b виден против часовой стрелки.

Пример 2.1. Даны два вектора

, для которых |

| 2,

и угол между ними

|b |

равен 6

Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

| |

| sin 2 6 sin 6 (кв.ед.).

Решение. S

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное скалярному

c .

произведению a,

b на вектор c . Обозначается a b c .

a b c = a,

b ,

Геометрически модуль смешанного произведения интерпретируется как число, равное

объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c как на ребрах ( a b c > 0, если данные векторы образуют правую тройку, если a b c < 0– левую). Объем пирамиды равен

16 a b c .

Два вектора ортогональны, если угол между ними равен 90о. Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Необходимое и достаточное условие ортогональности. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.

a, b 0 | a | |b | cos 0 cos 0 2 .

Необходимое и достаточное условие коллинеарности. 1). Два ненулевых вектора a и b

коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. b a , где - произвольное число, отличное от нуля. 2). Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда a, b 0 (площадь параллелограмма равна нулю).

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).

2.2. Действия над векторами, заданными в координатах

Орты (единичные векторы)

называются базисными (ортонормированными)

i, j, k

векторами ( | i | |

| |

| 1, i

Если i, j, k – орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор a единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с

коэффициентами ax , ay ,

az :

ax i ay

(рис. 1)

M ax , ay , az

Рис. 1

OM OMo Mo M OM1 OM2 Mo M ax i ay j az k;

a 2 a 2 a 2 .

Здесь ax , ay , az

- координаты вектора

( r – радиус-вектор точки М).

Если A(ax ,

ay ,

az ) и B(bx , by , bz ) , то координаты вектора AB вычисляются по формуле

(bx ax , by ay , bz az ) .

Пусть даны два вектора a(ax , ay ,

az ) и b(bx , by , bz ) , тогда:

(ax bx , ay

by , az

bz ) ;

(ax bx , ay

by , az

bz ) ;

3)a ( ax , ay , az ) ;

4)(a, b) ax bx ay by az bz .

Следовательно,

ax bx ay by az bz

cos

(a, b)

| a | |b |

ax2 ay 2 az 2 bx2 by 2 bz 2


																	i					j				k							a b								i a b																	a
5)							,									a																				a b														a b																a b							;
5)				a			,			b						a					a					a										a b														a b							j						b			a b						k	;
																		x					y				z						y z					z y										x z					z x									x		y						y x
																bx					by					bz
																			ax				ay					az
																			ax				ay					az
6)																			bx
6)			a					b				c							bx				by					bz			.
																			cx				cy					cz
Пример 2.2. Даны вершины пирамиды																																														A(5; 1; 4), B(1;													2; 1),						C(3; 3;						4),				S(2; 2; 2) .					Найти
длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.
																																												Решение.									Так							как				объем							V			пирамиды						равен
																	S																									1		Sосн. h , то									h		3V					, где h \| SO \| – высота пирамиды,
																	S																								3			Sосн. h , то									h							, где h \| SO \| – высота пирамиды,
																																									3														Sосн.
																					h																				Sосн. – площадь основания.
																					h
														B
																																														AB			(1			5; 2				1;					1		4)				(		4; 1; 3),
																			O
			A																O															C												AC ( 2; 2; 0),
																																														AC ( 2; 2; 0),

																																																( 3; 1; 6).
																																														AS		( 3; 1; 6).
Находим объем пирамиды
		1																							1								4		1		3				1																											1
																																	4		1		3
V																																	2											48 0						6			18 0 12																	\| 24 \| 4 (куб.ед.) .
						AB							AC					AS								mod									2		0
						AB							AC					AS								mod									2		0
		6																					6										3		1		6				6																										6
		6																					6																		6																										6

Находим площадь основания

						1																	1							i				j	k				1															1																					1
																																																																												6		3		(кв.ед.)
S	осн.								[		AB			,	AC					]				mod					4					1	3					6			i			6		j	6		k						( 6)2 ( 6)2												( 6)2								3		3
S									[		AB			,	AC					]				mod					4					1	3					6			i			6		j	6		k						( 6)2 ( 6)2												( 6)2								3		3
					2																		2														2																2																					2
					2																		2						2					2	0		2																2																					2
																													2					2	0
Подставляем в формулу h																																	3V			3		4			4				3		.
Подставляем в формулу h																																															.
																																Sосн.			3		3				3

2.3. Прямая

Нормальным вектором прямой называется любой вектор, перпендикулярный прямой. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой или

на параллельной прямой.

2.3.1. Прямая на плоскости. Различные виды прямой

Каждая прямая на плоскости Oxy определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными.

1.Общее уравнение прямой. На плоскости Oxy составим уравнение прямой l, проходящей через точку Mo (xo , yo ) , с нормальным вектором n ( A, B) (рис.2).

n( A, B)

0M(x, y)

Рис. 2

Уравнение Ax By C 0 называется

Возьмем произвольную точку M(x, y), лежащую на прямой l.

Mo M x xo , y yo . Mo M n (по определению нормального вектора).

Следовательно, их скалярное произведение (n, Mo M ) 0 . В координатной форме это

равенство пример вид:

A(x xo ) B( y yo ) 0 Ax By Axo Ayo 0Ax By C 0, где C = - Axo Byo .

общим уравнением прямой, где А и В не равны

одновременно нулю ( A2 B2 0 ).

Если B 0 , то уравнение можно представить в виде уравнения с угловым коэффициентом

y kx b, где	k	A	;	b	C	(k tg , где – угол наклона прямой к оси Ох).
		B			B

2. Уравнение прямой, проходящей через точку Mo (xo , yo ) , с направляющим вектором s (m, n)

Строим чертеж (рис.3).

Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l.

Тогда вектор Mo M x xo , y yo коллинеарен

вектору

(m, n) .

Следовательно,

их

Мо

координаты пропорциональны, т.е.

x xo

y yo

Такое

уравнение называется каноническим

Рис. 3

уравнением прямой.

Из этого уравнения следует параметрические уравнения прямой

x x

y y

x xo mt;

y yo nt.

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1, y1), M2 (x2 , y2 ) . В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор s M1M2 x2 x1, y2 y1 . Тогда искомое уравнение примет вид

	x x1		y y1			.
		x
	x		y	2	y
2		1			1
Пример 2.3. Вершины треугольника находятся					в точках A(2; 2), B(1, 2),		C( 1, 0). Найти

проекцию точки А на ВС.

Решение. Строим чертеж (рис.4). Проекция точки А на ВС есть точка пересечения основания ВС с высотой АН. Составим уравнение прямой ВС по двум точкам

x xB

y yB

x 1

y ( 2)

x 1

y 2

2(x 1) 2( y 2) x 1 y 2

x x

1 1

y y

0 ( 2)

C B

x y 1 0

общее уравнение прямой ВС.

Так как AH CB ,

следовательно, скалярное произведение BC,

AH 0.

x 2, y 2 и

1 1; 0 ( 2)

2; 2 .

BC,

AH 0. , следовательно,

А(2; 2)

2 x

2 2( y 2) 0 2x 2y 0 x y 0

– общее уравнение АН.

С(-1; 0)

Для нахождения координат точки Н решим систему

x y 1;

2 y 1;

; y

Н(х; у)

В(1; -2)

x y 0.

x y.

Рис.4

Ответ. H

;

2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой

Уравнение

прямой l,

проходящей

через

Mo xo , yo , zo , с

направляющим

вектором

s (m, n, p) в пространстве Oxyz составляются аналогично прямой в пространстве Оху.

Строим чертеж (рис.5). Пусть M(x, y, z) – произвольная точка прямой l. Тогда вектор

x xo

y yo

z zo

. Такие уравнения называются каноническими уравнениями

прямой.

Параметрические

уравнения прямой примут

вид

M(x, y, z)

x xo

y yo

z zo

x xo

y yo

Mo(xo ,yo ,zo)

(m, n, p)

x xo mt;

z zo

t y

yo nt;

zo pt.

Рис.5

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1 x1 , y1 , z1

и M2 x2 , y2 ,

x x1

y y1

z z1

Общее уравнение прямой в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей.

2.4. Плоскость

Плоскость в пространстве можно задать разными способами: тремя точками; точкой и вектором, перпендикулярным плоскости. В зависимости от этого рассматриваются различные виды ее уравнений.

1. В

пространстве

Oxyz составим

уравнение

плоскости p, проходящей через точку

Mo xo ,

yo , zo перпендикулярно нормальному вектору плоскости

A, B, C

(рис.6).

A, B, C

M(x, y, z)

Рис. 6

Возьмем любую точку M(x, y, z), лежащую

на плоскости р. Векторы

Mo M и n

перпендикулярны.

Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно

нулю, т.е.

(

) 0 или

координатной

форме A(x x0 ) B( y yo ) C(z zo ) 0.

Уравнение

Mo M

Ax By Cz D 0 , где A, B, C не равны одновременно нулю (A2 + B2 + C2

0) называется

общим уравнением плоскости.

три точки M1 x1, y1, z1 ,

x2 , y2 , z2 ,

2. Уравнение плоскости, проходящей через

M3 x3 , y3 , z3 , не лежащие на одной прямой.

Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогда векторы

x x1;

y y1;

z z1 ,

M1M

x2 x1; y2 y1; z2 z1

x3 x1; y3 y1; z3 z1

M1M2

M2 M3

компланарны,

а,

следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е.

0 .

M1M M1M2

M2 M3

координатной форме запишется так:

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0 . z3 z1

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Задачи на прямую и плоскость: пусть даны две непараллельные плоскости, заданные общими уравнениями. В этом случае плоскости пересекаются по прямой, определяемой

общими уравнениями прямой.

A1x B1 y C1z D1 0;A2 x B2 y C2 z D2 0.

Замечание. Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных уравнений, т.к. через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей.

x 2 y 3z 2 0,
Пример 2.4. Общие уравнения прямой		привести к каноническому виду.
2x 2 y z 5	0.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

b		b	...	b	...	b
	n	12		1k		1n
	0	b22	...	b2k	...	b2n
	0	0	...	bkk	...	bkn	,

	0	0	...	0	...	0
	0	0	...	0	...	0
	0	0	...	0	...	0

b		b	...	b	...	b
	n	12		1k		1n
	0	b22	...	b2k	...	b2n
	0	0	...	bkk	...	bkn	,

	0	0	...	0	...	0
	0	0	...	0	...	0
	0	0	...	0	...	0

b		b	...	b	...	b
	n	12		1k		1n
	0	b22	...	b2k	...	b2n
	0	0	...	bkk	...	bkn	,

	0	0	...	0	...	0
	0	0	...	0	...	0
	0	0	...	0	...	0