15.28. y = sin (x3 +π ), |
x0 = 3 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||
π |
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
15.29. y = x arccos x, |
x |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15.30. x2 + y2 = sin y, |
M (1;1). |
|
|
|
||||||||
ТЕМА 13. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ–БЕРНУЛЛИ |
|
|||||||||||
Если y = f (x) и |
y =ϕ(x) |
|
– дифференцируемые бесконечно |
|||||||||
малые или бесконечно большие функции при x → a , то |
|
|||||||||||
lim |
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
. |
(13.1) |
|||||||
|
x→a |
ϕ(x) |
|
x→a |
ϕ′(x) |
|
||||||
Формулой (13.1) выражается правило Лопиталя–Бернулли.
Пример 13.1. Найти lim |
ex cos x −1 |
. |
|
|
x2 +5x |
|
|
||
x→0 |
|
0 |
|
|
Решение. Имеем неопределенность вида |
. Раскроем эту не- |
|||
|
|
|
0 |
|
определенность с помощью правила Лопиталя – Бернулли. По формуле (13.1) получаем
lim |
ex |
cos x −1 |
|
|
0 |
= lim |
(ex cos x −1)′ |
= |
|
||||
|
x2 |
|
|
= |
|
(x2 +5x)′ |
|
|
|||||
x→0 |
|
+5x |
|
|
|
0 |
x→0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= lim |
ex cos x −ex sin x |
= |
1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2x +5 |
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|||
Пример 13.2. |
Найти lim |
2x −2ex |
. |
|
|
|
|
||||||
(x − |
1)2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
||||
31
Решение. Чтобы раскрыть неопределенность вида 0 в этом при-
0
мере, правило Лопиталя–Бернулли необходимо применить два раза
lim |
2x −2ex |
= |
|
0 |
|
|
|
(2x − |
2ex )′ |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x −1)2 |
|
0 |
= lim |
|
((x −1) |
2 |
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 −2ex |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(2 −2ex )′ |
|
|
−2ex |
||||||||||||
= lim |
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= −1. |
||||||
2(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
0 |
|
x→1 |
( |
|
|
( |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 13.3. Найти |
lim |
ln x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
ln x |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln x)′ |
|
|
|
|
||||||||
Решение. lim |
|
|
lim |
|
|
lim |
|
x |
|
= 0 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 |
|
(x4 )′ |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
x→+∞ |
x |
|
|
|
∞ |
|
x→+∞ |
|
|
|
x→+∞ 4x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 13.4. Найти lim |
|
− |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
e |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Это неопределенность вида ∞−∞. Приведя выражение в скобках к общему знаменателю, получим неопределенность
вида 00 , после чего применяем правило Лопиталя–Бернулли:
lim |
|
1 |
|
2 |
= lim |
e2x −1−2x |
|
0 |
|
|||
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
||
|
e2x −1 |
x(e2x −1) |
0 |
|||||||||
x→0 |
x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|||||
lim |
(e2x −1−2x)′ |
= lim |
2e2x −2 |
|
0 |
|
|
(x (e2x −1))′ |
|
= |
|
|
= |
||
|
|
||||||
x→0 |
x→0 e2x −1+2x e2x |
|
0 |
|
|
||
32
= lim |
(2e2x −2)′ |
= lim |
4e2x |
= |
4 |
=1. |
|
(e2x −1+2x e2x )′ |
2e2x +2e2x +4x e2x |
4 |
|||||
x→0 |
x→0 |
|
|
Задание 16. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя–Бернулли.
16.1. lim |
ln (1+ x2 ) |
. |
||
|
||||
x→0 cos3x −e−x |
||||
|
|
1 |
|
|
16.3. lim |
x |
4x |
−1 . |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.2. lim tgx −sin x .
x→0 x3
16.4. lim 5ln x − x . x→1 5ln x
1
16.5. lim x −arctgx .
x→0 x3
16.7. lim ln (x −1).
x→1
|
|
1 |
|
16.9. lim |
tgx − |
|
. |
|
|||
x→π |
|
cos x |
|
2 |
|
|
|
ln (x +5) 16.11. lim 4 .
x→∞ 
x +3
16.13. lim tg x . x→π2 tg2x
16.6. lim |
e |
x2 |
−1 |
. |
|||||
2arctgx |
2 |
−π |
|||||||
x→∞ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|||||
16.8. lim |
ctgx − |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
|
sin x |
||||||
16.10.lim ln sin 5x . x→0 ln sin 2x
ln (sin 2x) 16.12. lim ( ).
x→0 ln sin 5x
|
|
3 |
|
16.14. lim |
x sin |
|
. |
|
|||
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
πx |
|
3 |
|
|
|
+1 |
|
||
|
|
|
1+2x |
|
||||||||
16.15. lim |
(1 |
− x) tg |
|
|
. 16.16. lim |
|
|
|
|
|
|
. |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
x→1 |
|
|
|
x→−1 |
2 |
+ x + x |
|
|||||
33
16.17. lim |
tgx −sin x . |
16.18. lim |
1−cos8x . |
x→0 |
4x −sin x |
x→0 |
tg2 2x |
16.19. lim |
|
1 |
− |
3 |
|
. 16.20. lim |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 − x −6 |
|||||||
x→3 |
x −3 |
|
|
x→0 |
||||
16.21. lim |
(π − x) tg |
x |
. |
|
16.22. lim |
|||
|
|
|||||||
x→π |
|
|
|
2 |
|
|
x→0 |
|
ex2 −1 . cos x −1
arcsin 4x . 5 −5e−3x
16.23.lim cos ex2 −1. x→0 cos x −1
3 tgx −1 16.25. lim 2 .
x→π4 2sin x −1
16.27. lim |
ln ( |
x +7) |
. |
|
|
|
|
||
x→+∞ |
7 x −3 |
|||
16.29. lim arcsin x . x→0 tg2x
2x −2sin x
16.24. lim 3 .
x→0 x
16.26. xlim→∞(x3e−x ).
16.28. xlim→0 (1−e2x ) ctgx.
16.30. lim |
π x |
. |
|
||
x→0 ctg π2x |
|
|
ТЕМА 14. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Пример 14.1. Найти промежутки возрастания и убывания функ-
ции f (x)= 9x −3x3
Решение. Данная функция определена при всех x (−∞, +∞). Производная этой функции f ′(x)= 9 −9x2 обращается в ноль в точках x1 = −1, x2 =1, которые делят область определения на три интервала: (−∞, −1), (−1,1), (1, +∞).
34
Поскольку |
f ′(x)= 9(1− x)(1+ x)< 0 при |
x < −1, то функция |
||
убывает на |
промежутке (−∞, −1). Так |
как |
f ′(x)> 0 |
при |
−1 < x <1, то функция возрастает на промежутке (−1,1). |
|
|||
Аналогично устанавливаем, что на промежутке |
(1, +∞) |
функ- |
||
ция убывает (ибо f ′(x)< 0 при x >1). |
|
|
|
|
Пример 14.2.Найти экстремумы функции f (x)= x5 −5x4 +5x3 +2 . Решение. Производная данной функции f ′(x)=5x4 −20x3 +15x2
определена для всех х и обращается в ноль при x1 =0, x2 =1, x3 =3 .
Исследуем эти критические точки с помощью второй производной f ′′(x)= 20x3 −60x2 +30x .
Поскольку f ′′(1)= −10 < 0 , |
то x =1 – точка максимума; так |
|
2 |
как f ′′(3)= 90 > 0 , то x3 = 3 – точка минимума. |
|
В точке x1 = 0 f ′′(0)= 0 , |
поэтому для исследования точки |
x1 = 0 используем первое правило.
Так как f ′(x)> 0 при −∞ < x < 0 и f ′(x)> 0 при 0 < x <1, то
x1 = 0 не является точкой экстремума. Вычисляем значения экстремумов:
max f (x)= f (1)= 3, min f (x)= f (3)= −25.
|
f (x)= 3 |
|
. |
|
||||
Пример 14.3. Найти экстремумы функции |
1− x3 |
|
||||||
Решение. Находим производную функции |
f (x)= 1 |
− x |
3 |
) |
1 |
. |
||
3 |
||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
3 13 |
2 |
|
x2 |
|
|
|
|
f |
′ |
(x)= 3 |
(1− x |
) |
(−3x )= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
1− x3 |
) |
2 и критические точки |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
||
x1 = 0 , x2 =1.
35
(При x1 = 0 f ′(x)= 0, при x2 =1производная терпит разрыв).
Исследуем критические точки с помощью первого правила.
Так как f ′(x)< 0 при x (−∞;0) (0;1) (1;+∞), то есть
функция f (x) убывает, то точки x1 = 0 и x2 =1 не являются точ-
ками экстремума и, следовательно, данная функция не имеет экстремумов.
Пример 14.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x)= x3 −12x +5 на отрезке [0;3].
Решение. Находим производную функции: f ′(x)= 3x2 −12 и критические точки x1 = −2 ; x2 = 2. Точка x1 = −2 не принадлежит отрезку [0;3].
Вычисляем значения функции в критической точке x2 = 2 и на концах отрезка:
f (2)= 23 −12 2 +5 = −11; f (0)= 5; f (3)= 33 −12 3 +5 = −4.
Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно -11, а наибольшее равно 5.
Задание 17. Найти промежутки возрастания и убывания функции.
17.1. f (x)= x3 +4x −7. |
17.2. f (x)= 2x3 −4x2 +3. |
||||||||||||
17.3. f (x)= x4 −4x2 +5. |
17.4. f (x)= 5x2 − x4 −6. |
||||||||||||
17.5. f (x)= x + |
|
|
17.6. f (x)= (x −4) 3 |
|
. |
||||||||
|
|
|
x2 |
||||||||||
x −1. |
|||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|||||
17.7. f (x)= |
. |
|
|
17.8. f (x)= ln |
|
. |
|||||||
x +1 |
|
|
x −3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
17.9. f (x)= |
x4 |
|
|
. |
|
17.10. f (x)= 1 x |
|
. |
|||||
|
|
|
x |
||||||||||
x3 +1 |
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
36
Задание 18. Найти экстремумы функции. |
|
|
|||||
18.1. f (x)= x3 −3x +5. |
18.2. f (x)= x3 +3x2 −4. |
||||||
18.3. f (x)= x4 −10x2 +15. |
18.4. f (x)=13x2 − x4 +30. |
||||||
18.5. f (x)= x6 −6x4 +9x2. |
18.6. f (x)= x2 ln x. |
|
|||||
18.8. f (x)= |
(ex −e−x ) |
. |
18.8. f (x)= x3 e−4x. |
|
|||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
18.9. f (x)= |
ex |
. |
|
18.10. f (x)= |
|
x −2 |
. |
x +1 |
|
x |
2 −4x +5 |
||||
|
|
|
|
|
|||
Задание 19. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a, b].
19.1. f (x)= x3 +3x2 −6, |
a = −2, |
|
b = 2. |
||||||||||
19.2. f (x)= |
1 +4x2, |
a = |
1 |
, |
b = 3. |
||||||||
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
19.3. f (x)= |
3 − x2 |
, |
a = 0, |
b = 4. |
|
||||||||
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19.4. f (x)= |
|
x3 |
|
, |
a = − |
1 |
, |
b = |
1 . |
||||
x2 −1 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
19.5. f (x)= |
x2 −1 |
, |
a = −1, |
b = 3. |
|||||||||
x2 +4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19.6. f (x)= ln 1+ x |
, |
a = − 1 , |
b |
= |
1 . |
||||||||
|
|
1− x |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
||||
19.7. f (x)= x +ln(x2 +4), |
a = 0, |
b = 3. |
|||||||||||
19.8. f (x)= 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln x |
, |
a = 2, |
|
b = 2e. |
|
|
|||||||
19.9. f (x)= x ex , |
a = −2, |
|
b = 0. |
|
|||||||||
19.10. f (x)=8x2 e−x2 , |
a = −1, |
b =1. |
|||||||||||
37
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1-го КУРСА
Составители: ЕМЕЛИЧЕВА Елена Владимировна ЛОШКАРЕВА Светлана Юрьевна МАТВЕЕВА Людмила Дмитриевна
Подписано в печать 18.04.2011.
Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.
Усл. печ. л. 2,21. Уч.-изд. л. 1,73. Тираж 200. Заказ 1042. Издатель и полиграфическое исполнение:
Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009.
Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.
38