ТЕМА 5. ПРОИЗВОДНАЯ.

Пример. Найти производную функции y = x

4

x

+5x

5

1−

.

5

Решение.

4

′

x

5

4

x

5

′

3

x

5

y′ = (x

) 1

−

+5x

+ x

1

−

+5x

= 4x

1−

+5x

+

5

5

5

3

(x

4

3

+2x −1).

x

1

1

8.1. y = x

−

3x

8.2. y =

x

−

+

.

10

x

2

3x

3

5

1

1

8.3. y =

+

−

+

.

8.4. y =

11

.

x

5x3

3sin x −5cos x

3 x

x2

8.5. y =

x2

.

8.6. y

=

4x4

.

8.7.

y

=

5x2

.

x2 +1

cos x

sin x

8.8. y =

4

x

.

8.9. y =

x3

.

8.10.

y =

x5

.

tgx

5

+ x3

3cos x

8.11. y =

tgx

.

8.12. y =

e

x

.

8.13. y = 4x2ctgx .

5x4

x

1−

.

arctg

x

.

8.14. y = 3ex sin x .

8.15. y =

x

8.16.

arcsin x

x

8.17. y = 5x3ctgx .

8.18. y =

x2 −3

.

8.19.

y =

1+cos x .

8.20. y = ex (x −2

).

x2 +3

sin x

8.21. y = 33

−2

x3 +4 .

x

x

8.22. y =

x

.

8.23. y = −3cos x ctgx .

1+

x

1

1

8.25. y =

ln x

8.24. y =

−

ln x .

.

x

2

x

3

+2

x

8.26. (x2 −2x)tgx .

8.27. y =

x3 +3

.

8.28. y = 5x2 +1 .

ln x

8.29. y = (x3 −

)ctgx .

x

ln x

5

2x2

x

8.30. y =

−

e

.

2x

2

5

′

tg4 (x2 +5x)

3

2

1

y

= 3

ln 3 4tg

(x

+5x) cos2 (x2 +5x) (2x +5).

Задание 9. Найти производные сложных функций:

9.1. y = (1+5x)3 .

9.2. y = sin (5x +2).

9.3. y = cos x2 .

9.6. y = (2 +3x)5 .

9.4. y = tg2 2x .

9.5. y = 3 2 + x5 .

9.7. y = ctg4x .

9.8. y = cos(sin x).

9.9. sin3 x5 .

9.10. arcsin

x

9.11. arctg

x

9.12. y = 2ctg

3 1

.

.

x .

2

5

x

9.13. y =arcsin (sin x). 9.14. y = 5e−x2 .

9.15. y = ln tg

.

2

9.16. y = ln arctg

. .

9.17. y = sin3 (x2 +3x +1).

x

9.18. y = ln ln tgx .

9.19. y =

x +

.

9.20. y =ln

.

x

sin x

x

. 9.22. y =(arcsin

)4 .

1

9.21. y = arccos

9.23. y = 2tg x .

x

6

9.25. y = cos5 (3x3 +2x2 +2x −1).

9.24. y = ln arctg

1+ x2 .

9.26. y = ln ln

.

9.27. y = ln3 x2.

9.28. y = ln ln ln x

x

9.30. y =tg5 (2 −5x).

9.29. y =arccos

1− x2 .

Пример. Найти производную функции y = 3

x

ln x

.

y′ = 3

x

x

′

x

ln x −1

Решение.

ln x

ln 3

= 3

ln x

ln 3

.

ln

2

x

ln x

Задание 10. Найти производные следующих функций.

2x

e−x2

10.1. y = arctg

. 10.2. y

=

.

10.3. y = ln

1+ tgx

.

1− x2

1

+e2x

1−tgx

10.4. y = sin3 2x cos8x5 .

10.5. y = ln (x −3) arctg2 2x .

10.6. y =2sin x arctg3 x .

10.7. y = 5−sin x arctg4x .

10.8. y = 3cos x ln (x2 −2x +8)

10.9. y = 5−x2

arccos 4x4 .

10.10. y = cos(ln3 3x) e−2x .

10.11. y = (2x +3)11 arccos

.

3x

10.12. y = ctg3 4x arctg2x3 .

10.13. y =cos 5

arcctgx5

x

10.14.

2−sin x

.

10.15.

y = arcsin 7x5

.

10.16. y =

(x −5)3 .

arcsin5 6x

(x −8)10

earctg3x

10.17.

y =

earccos3x

10.18.

y =

e−x2

10.19.

y =

esin 6x

.

.

.

(2x +8)10

(2 −

3x)3

x2

+3

etgx

10.20. y =

3x2

+2x −1

.

10.21. y =

.

e5x

x2 −5x −2

10.22. y =

2−3x .

10.23. y = (x −1)2 9arcctg (x +7).

arccos 2x

arcsin2 4x

10.25. y =

2ln (2x −

5)

10.24. y = ln2 (2x +1).

.

(x +2)5