Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и задания к выполнению самостоятельных работ для студентов 1-го курса-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

ТЕМА 2. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Первый замечательный предел:	lim sin x		=1.
	x→0	x
Следствием являются формулы:	lim sin kx			=1;	lim	kx	=1.
Следствием являются формулы:	lim sin kx			=1;	lim		=1.
	x→0	kx			x→0 sin kx

Пример. Вычислить предел lim sin 2x . x→0 sin 3x

Решение.

lim sin 2x	= lim sin 2x 3x 2	= lim sin 2x		lim	3x	2	=	2 .
						3
x→0 sin 3x	x→0 sin 3x 2x 3	x→0	2x	x→0 sin 3x				3

Задание 5. Вычислить пределы.

5.1. lim tgx ctg3x. 5.2. lim					1−cos6x			.

x→0				x→0		tg2x
5.4. lim	1−cos10x .		5.5. lim x sin 4 .
x→0	1−cos6x			x→0			x
5.7. lim sin 2x sin 3x .			5.8. lim			1−cos 4x .
x→0		4x2		x→0		x2
5.10. lim		1−cos8x .		5.11. lim sin 5x .
x→0		x2				x→0	tg7x
5.13. lim		cos 2x −cos8x		. 5.14. lim			sin 3x .

x→0		x2				x→0 sin 4x
5.16. lim sin 5x ctg2x.				5.17. lim			tg3x .
x→0						x→0 sin x

5.3. lim 1−cos 4x .

x→0 x2

5.6. lim 1−cos6x .

x→0 3x2

5.9. lim x sin 1 .

x→0 x

5.12. lim 1−cos 4x . x→0 1−cos 2x

5.15. lim sin x . x→0 sin 3x

5.18. lim sin 3x . x→0 tg7x

5.29. lim tg4x . 5.30. lim x→0 sin x x→0

5.19. lim x sin x ctg2	2x. 5.20. lim tg2x .
x→0	x→0 tg5x
5.22. lim tg3x ctg2x.	5.23. lim tg3x .
x→0	x→0 tg4x

5.21. lim	x2 ctg3x		.
	sin 5x
x→0
5.24. lim	sin2 x	.

x→0 sin2 5x

5.25. lim sin 4x −sin 6x .

x→0 2x

5.28. lim tg4x ctg9x.

x→0

5.26. lim

x→0

sin	2 x				x2 ctg3x
		3	. 5.27. lim			.

x2			x→0		sin 5x
					2x2
							.
				sin 7x sin 9x

ТЕМА 3. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел применяется для раскрытия не-

определенности вида 1∞ .
Пусть	lim f (x)=1	, а	lim g (x)= ∞. Тогда имеем
	x→a		x→a

lim f

(

)

(x) = 1∞

)

(

= lim

x→a

(

x→a (

= ex→a(

(

)

) (

lim

−1 g

f	(	x	)	))	1	(f (x)−1)g(x)
	(		)	))
				−1	f (x)−1		=

Пример 3.1. Вычислить lim (3x −5)

−4

Решение. Имеем

x→2

(3x−6)

)

x2 −4

lim (3x −5)

x2 −4

1∞

= lim

(1+(3x

−6))3x−6

x→2

(

x→2

lim (3x−6)

x2 −4 =

= ex→2

lim

(3x −6)

= (0∞)= lim

(3x −6) 2x

x2 −

−4

x→2

3(x −2) 2x

= 12

= lim

= 3

= e3.

(x −2)(x +2)

x→2

x→2 x +2

Пример 3.2. Вычислить lim(cos 2x)3x2 .

x→0

Решение. Имеем

x→0	(cos 2x)	4		(	)	x→0	(	2
lim	(cos 2x)	3x2	=	1∞		= lim	1−2sin	2

x)3x2 =

			1		−2sin		2	x			4
	2 x))		1		−2sin			x		3x2
= xlim→0 (1+(−2sin
= xlim→0 (1+(−2sin		−2sin2 x

	−	8	lim	sin x 2					−		8
	−		lim		x				−		8
	= e	3 x→0			x	= e					3.

lim	−8sin	2	x
		2
	3x
= ex→0				=

Пример 3.3. Вычислить lim 3x +8 x . x→∞ 3x +2

Решение. Имеем

3x +8

∞

(3x +2)+

6 x

lim

= (1

)= lim

3x +2

x→∞ 3x +2

x→∞

3x+2

lim

= lim

3x+2

= ex→∞3x

= e

3x +2

x→∞

x→+∞(

x −

)(

(

2x −

)

(

2x +3

))

Пример 3.4. Вычислить

lim

1 −ln

Решение. Имеем

(

)

(

))

(

)

x→+∞(

x −

)

−ln

lim

2x −1

∞−∞

2x −1 x−1

= lim ln

= ln

lim

x→∞

2x +3

x→+∞

=lim 2x −1 x−1

x→+∞ 2x +3

=ln e−2 = −2.

= (1∞ )= xlim→+∞ 1+

	−4		2x+3
	−4		−4

	2x +3
	2x +3

−4	(x−1)
2x+3		−4x+1
	lim
			=
	= ex→+∞ 2x+3 = e−2

Замечание. Отметим, что, например,

lim

+3 x

5 ∞

= ∞,

3x +2

3 ∞

lim

= 0.

x→∞

−1

x→∞ 5x +4

Задание 6. Найти предел функции.

6.1. lim (3 −2x)

6.2. lim (1+sin 4x)

1−x

x→1

x→0

(2x −7) (ln (3x +4)−ln 3x).

6.3. lim

(cos3x)

. 6.4.

lim

sin2 x

x→0

x→+∞

3x +4

6.5. lim

x+2

. 6.6.

lim

(x −4) (ln (2x −2)−ln (2x +5)).

x→∞

3x +2

x→+∞

6.7. lim

−3 x−6

. 6.8.

lim

(2x −3) (ln (x +2)−ln (x −7)).

x→∞

x→+∞

x −3 2x

(3x +1) (ln (x −

2)−ln (x +2)).

6.9. lim

6.10. lim

x→∞ x +1

x→+∞

6.11. lim

+2x −x

. 6.12. lim

(4x −2) (ln (3x +8)−ln (3x +4)).

x→∞

+2x

x→+∞

6.13. lim (1− x)ctg2x .

x→0

6.15. lim x 3−2x . x→∞ x −1

6.17. lim (cos5x)1x2 .

x→2

6.19. lim 4 −2x x+1 . x→∞ 1−2x

6.21. lim (6 − x)2x−10 .

x→5

6.23. lim x −1 2x−3 .

x→∞ x

6.25. lim (1+arcsin 8x)

x→0

5x .

6.14. lim (3 − x)sin8x .

x→2

6.16. lim (9 −2x)x2 −16 .

x→4

6.18. lim 3x +4 x+1 . x→∞ 3x +5

6.20. lim (1+ tg4x)x .

x→0

6.22. lim 2x −4x . x→∞ 2x −3

6.24. lim 3x x−2 . x→∞ 3x +2

6.26. lim (5 −2x)x2 −4 .

x→2


6.27. lim (cos5x)					2				6.28. lim (1+5x)								8+x
				sin2 x			.										x .
	x→0				)	(		(		)		x→0		)
6.29.	x→+∞(	4x	−2				ln		5x +7			−ln 5x				.
	lim				)	(				(
6.30.	x→+∞(	2x	+4				ln 8x −ln				8x −3		))		.
	lim

ТЕМА 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ Пример 4.1. Исследовать на непрерывность функцию

f (x)= xx+−13 .

Решение. Область определения данной функции

D( f )={x x +3 ≠ 0}= R \{−3}. Следовательно x0 = −3 – точка разрыва. Выясним характер точки разрыва. Имеем

lim

x −1

т.к. x → −3−0, то x < −3 x +3< 0

−4

= +∞;

x→−3−0 x +3

−0

lim

x −1

т.к. x → −3+0, то x > −3 x +3> 0

−4

= −∞.

x→−3+0 x +3

Следовательно, x0 = −3 – точка разрыва второго рода. Пример 4.2. Исследовать на непрерывность функцию

	4x,	x ≤ 0,

f (x)= ln x, 0 < x ≤ 3,
		4, x > 3.
x2 +		4, x > 3.

Решение. Область определения данной функции D ( f )= R .

Поскольку функция задана различными выражениями, проверить на непрерывность надо точки «стыка», т.е. x1 = 0 , x2 = 3 .

Исследуем		точку	x1 = 0 .				Здесь		f (0)= 0.		Вычислим
lim	f (x)=	lim 4x = 0 ,		lim			f	(x)=	lim ln x = −∞. Имеем
x→0−0		x→0−0		x→0+0					x→0+0
x1 = 0 – точка разрыва второго рода.									f (3)= ln 3.
Исследуем		точку	x2 = 3 .				Здесь		f (3)= ln 3.		Вычислим
lim	f (x)=	lim ln x = ln 3 ,				lim		f (x)= lim		(x2	+4)=13 .
x→3−0		x→3−0				x→3+0			x→3+0
Так как lim f (x)			≠ lim	f	(x), но эти пределы существуют и
	x→3−0		x→3+0
конечны, то x2 = 3 - точка разрыва первого рода.
Пример 4.3. Исследовать на непрерывность функцию
				5
				x+5		,	x ≤ 0,
			2			,	x ≤ 0,
		f (x)= x2 +2, 0 < x < π,
			sin 4x,				x ≥ π.

Решение. Область определения данной функции

D ( f )= R \{−5}. Следовательно x1 = −5 – точка разрыва.

Кроме этого, функция может иметь разрыв в точках «стыка» x2 = 0 , x3 = π. Исследуем точку x1 = −5. Вычислим

f (x)=

2−∞ =

lim

x+5

= 2−0 =

= 0

x→−5−0

2+∞

+∞

f (x)=

= 2+∞ = +∞.

lim

x+5

= 2

x→−5+0

Следовательно, точка x1 = −5 – точка разрыва второго рода.

Исследуем точку x2

= 0 . Имеем

(0)= 2 . Вычислим

f (x)= lim

)

lim f

(x)= lim 2

= 2 ,

lim

x2 +2

= 2 .

x+5

x→0−0

x→0+0

→0+0 (

Так как

lim f (x)

lim

(x)= f (0)= 2 , то

x2 = 0 – точка

x→0−0

x→0+0

непрерывности.

(π)= 0 . Вычислим

Исследуем точку x3 = π. Имеем

lim

(x)= lim

)

= π2

+2 ,

x→π−0

x→π−0 (

lim

f (x)= lim sin 4x = sin 4π = 0 .

→π+0

Так как

lim f (x)

≠ lim

f (x), но эти пределы существуют и

x→π−0

→π+0

конечны, то x3 = π – точка разрыва первого рода.

Задание 7. Исследовать на непрерывность функцию.

7.1. f (x)=

x2 + x +1

. 7.2. f (x)=

. 7.3. f (x)=

x −3

2 − x2

x −3

7.4. f (x)= 3x+1.

1
7.5. f (x)= e−		. 7.6. f (x)= arctg	1
	x2			.
			2 − x

	x2 −2, x <1,

7.7. f (x)= 2x −3, 1 ≤ x ≤ 4,
	e	5x	, x > 4.
	e		, x > 4.
	arctg x, x ≤1,
	arctg x, x ≤1,
	2 + x +5, 1 < x ≤ 2,
7.9. f (x)= x	2 + x +5, 1 < x ≤ 2,
			1

			3x−2 , x > 2.
			3x−2 , x > 2.

		cos x,			x < 0,
		cos x,			x < 0,

7.8. f (x)= x2 +4, 0 < x ≤ 5,
		8
						x > 5.
	10 −2x ,
	10 −2x ,
				− x,		x ≤ 0,
			3	− x,		x ≤ 0,
7.10. f (x)=				1
7.10. f (x)=				1

		2		x−1	,	x > 0.
		2			,	x > 0.

arctg x, x ≤1,

7.11. f (x)= 2x−3 +1.

7.12. f (x)= x2 + x +5, 1 < x ≤ 2,

3x−2 ,

x > 2.

−1,

x < 0,

7.13. f (x)=

0 ≤ x ≤ π,

7.14. f (x)= 5x−3 −1.

cos x,

1− x,

x > π.

x +3,

x ≤ 0,

x +2

7.15.

f (x)=

7.16. f (x)=

1, 0 < x ≤ 2,

x −5

x > 2.

x2 −2,

2, 7.17. f (x)= 1− x,ln x,

7.19. f (x)= 75−x +1.

x < −1,	7.18. f (x)=		3x
−1 ≤ x ≤1,			3x	.
−1 ≤ x ≤1,				.
x >1.			x −4
x >1.
	x	+3,	x ≤ 0,
		0 < x ≤ 2,
7.20. f (x)= 1,		0 < x ≤ 2,
			x > 2.
	x2 −2,		x > 2.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]