Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания и задания к выполнению самостоятельных работ для студентов 1-го курса-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 2»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1-го КУРСА

Минск

БНТУ

2011

УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7

М 54

С о с т а в и т е л и:

Е.В. Емеличева, С.Ю. Лошкарева, Л.Д.Матвеева

Р е ц е н з е н т ы:

В.В. Карпук, Н.А. Шавель

Издание предназначено для студентов инженерно-педагогических и инженерных специальностей 1 курса и содержит подробные решения типовых примеров. Задачи для самостоятельного решения составлены так, чтобы студенты могли полностью усвоить изучаемый материал и справиться самостоятельно с подобными задачами.

БНТУ, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Тема 1. Вычисление пределов...............................................................	4
1.1. Раскрытие неопределенности вида ∞ .................................	4
∞
1.2. Раскрытие неопределенности вида ∞−∞ ..........................	5
1.3. Раскрытие неопределенности вида 0 ..................................	7
0
Тема 2. Первый замечательный предел..............................................	10
Тема 3. Второй замечательный предел...............................................	11
Тема 4. Непрерывность и точки разрыва функции...........................	14
Тема 5. Производная. Правила и формулы
дифференцирования................................................................	18
Тема 6. Производная сложной функции.............................................	20
Тема 7. Производная сложной функции.
Правила дифференцирования................................................	21
Тема 8. Логарифмическое дифференцирование................................	22
Тема 9. Дифференцирование параметрически
заданных функций ..................................................................	23
Тема 10. Дифференцирование неявных функций .............................	24
Тема 11. Производные высших порядков..........................................	25
Тема 12. Касательная и нормаль к плоской кривой..........................	28
Тема 13. Правило Лопиталя–Бернулли..............................................	31
Тема 14. Возрастание и убывание функции.
Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее
значения функции.................................................................	34

ТЕМА 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

1.1. Раскрытие неопределенности вида

∞

Пример. Вычислить предел

lim

x4 −7x3 +1

3x4 −15

Решение.

x→∞

3x3

x4 −3x3 +1

−

1− x

lim

= lim

x→∞

3x4 −15

x→∞

3x4

x→∞

− x4

= 1−0 +0 =

1 .

3 −0

Задание 1. Вычислить пределы.

1.1. lim

x3 −2x2 +3

−4x

x→∞

1.2. lim

7x2

+4x −15

3x2 +121

x→∞

1.3. lim

4x4

+3x3 −2x2 +4

+5x

x→∞

1.4. lim

x4 −3x3 +5

+4x +10

x→∞ x

1.5. lim

−3x2 +4x +15

−3x

+4x

x→∞ x

1.6. lim

−3x3 +9

2x6

+14x2 −7

x→∞

1.7. lim

x4 +5

3x4

−4x2 +6x +1

x→∞

1.8. lim	1+2x −5x3						.
1.8. lim	2x3 +4x −5						.
x→∞	2x3 +4x −5
1.9. lim	x3 +2x2 −3x +5									.
1.9. lim		10x2 + x				+11				.
x→∞		10x2 + x				+11
1.10. lim			5 −2x3					.
1.10. lim		4x2 +7x +10						.
x→∞		4x2 +7x +10
1.11. lim		5x4 +3x2 −4						.
1.11. lim		10x4 −4x				+1		.
x→∞		10x4 −4x				+1
1.12. lim				5x −6x3							.
1.12. lim		3x	3	+4x	2	−7x			+1		.
x→∞		3x		+4x		−7x			+1
1.13. lim		3x3 + x2 −5x −1								.
1.13. lim		x4 +2x2 −3								.
x→∞		x4 +2x2 −3

1.14.xlim 5x+2 8+x4−x2−x52 .

→∞

1.15. lim

x→∞

1.16. lim

x→∞

1.17. lim

x→∞

1.18. lim

x→∞

1.19. lim

x→∞

1.20. lim

x→∞

1.21. lim

x→∞

1.22. lim

x→∞


x7 −4x5 + x3 +4							.
x6 +2x2 +1							.
x6 +2x2 +1
4x4 −7x5				.
2x2 − x4 + x5				.
7x5 −5x3 +4				.
2x5 + x4		−3x		.
2x5 + x4		−3x
2x3 +4x		2 −6x			.
11x3 +4x +3					.
11x3 +4x +3
x3 −4x	+1		.
x2 +5x	−1		.
x2 +5x	−1
x7 +4x4 −3x				+1		.
2x7 −4x3 +7						.
2x7 −4x3 +7

xx44−5x2x+1 . 7 +10 −4

23xx33−+35xx2++35 .

1.23.	lim	1−15x2			.
		3x2	+4x +7
	x→∞
1.24.	lim	6x3	−5x2 +2x −3			.
		2x3	+4x2	+ x −2
	x→∞

1.25.xlim 5x4 +4x−2 x+22x −3.

→∞

1.26.lim 33x5 −52x3 +4x2 .

x→∞ x +5x +4x +7

1.27. lim

9x3 +7x2 +4x

−1

3x3

−2x2

+5x +4

x→∞

1.28. lim

16x

4 +2x2 +1

8x6 +3x3

x→∞

1.29. lim

25x +4

x→∞

x +11

1.30. lim

9x2 +2x +3

+14

x→∞

1.2. Раскрытие неопределенности вида ∞−∞

Пример. Вычислить предел xlim→∞(x2 +11 −x2 −9 ).

Решение.

xlim→∞(x2 +11 −x2 −9 )=

(

)(

)

= lim

x2 +11

−

x2 −9

x2 +11

x2 −9

x→∞

x2 +11 + x2

−9

= lim

+11− x2 +9

= lim

= 0.

x→∞ x2 +11 + x2 −9

x→∞

+11 + x2

−9

Задание 2. Вычислить пределы.

2.1. lim

(

x2 +5x

−

x2 + x

)

x→∞

(

−

)

2.2. lim

2x2 +4x +1

2x2 +5

x→∞

(

−

)

2.3. lim

x2 −3x

x2 +3x

x→∞

(

2.4.

+10

−

xlim→∞

)

(

−

)

2.5. lim

x2 +6x

x2 +2x

x→∞

(

)

2.6. lim

3x2 + x +1

−

3x2 −2

x→∞

(

)

2.7. lim

n2 +4n

−

2n2 −4n

x→∞

(

−

)

2.8. lim

x2 +3x

x2 −4x

x→∞

(

−

)

2.9. lim

x2 +3x

x2 −3x +5

x→∞

(

)

2.10. lim

x3 +1

−

x3 −4x

x→∞

2.11. lim

x +

x −

x→∞

(

)

2.12. lim

x2 −4

−

x2 +16x −

x→∞

2.13. lim

(

+ x −1

− x2

)

x→∞

)

2.14. lim

x −

x2 −2x

x→∞(

(

)

2.15. lim

x −

x2 +2x −3

x→∞

1.3. Раскрытие неопределенности вида 0 0

Пример 3.1. Вычислить предел

lim

x2 −9

−4x +3

Решение.

x→3 x2

lim

x2 −9

= lim

(x −3)(x +3)

= lim

x +3

= 6 = 3.

−4x +3

(

)(

)

x→3

x −3

x −1

x −1 2

Задание 3. Вычислить пределы.

3.1.	lim				x2 + x −2											.				3.10.
3.1.	lim						2		+5x +6							.				3.10.
	x→−2 x								+5x +6
3.2.	lim	x2 −5x +									6		.							3.11.
3.2.	lim			2				−2x −3					.							3.11.
	x→3 x							−2x −3
3.3.	lim								2x2 −		5x −							2	.	3.12.
3.3.	lim						4x2 −18x −10												.	3.12.
	x→−	1					4x2 −18x −10
			2
3.4.	lim		x2 +							10x −24								.		3.13.
3.4.	lim								x2 −4									.
	x→2								x2 −4
3.5.	lim						x4 −16								.					3.14.
3.5.	lim				2				−						.
	x→2 x								−	4x + 4
3.6.	lim							x2 −10x									.			3.15.
3.6.	lim					2			−	11x +10							.
	x→10 x								−	11x +10
3.7.	lim		x2 + x −6									.								3.16.
3.7.	lim											.								3.16.
	x→−3							x2 −9
3.8. lim				x2 −16										.						3.17.
3.8. lim				2										.						3.17.
	x→4 x							−5x + 4
3.9. lim		x2 −8x +7										.								3.18.
3.9. lim			2				−6x −7					.								3.18.
	x→7 x						−6x −7

lim

2 −4x −12

−36

x→6

lim

x2 −3x −10

−6x +5

x→5

lim

x2 + x −6

x→2 x

2x −8

lim

x3 + x2 −4x

−4

+ 4

x→−2

lim

x2 +8x +

+6x

x→−3

lim

x2 −

7x +10

−3x + 2

x→2

lim

x3 −27

−

x→3 x

4x +3

lim

x2 −5x −6

x3 +1

x→−1

lim

x3 −8

x→2 x

2x −8

3.19.

lim

+ x

3.25.

lim

x3 +8

2 +

−

→−

x→−2 x

3.20.

lim

3.26.

lim

x2 + 2x

−1

→−

x→−2

3.21.

lim

x2 + x −2

3.27.

lim

x3 −27

x3 −1

x→4

→

2 −6x +9

x 3

2 + x −2

3.22.

lim

2 −25

3.28.

lim

−

−2x2

x→−5 x

→ x4

x 1

2 +6x +8

3.23.

lim

x3 −

3.29.

lim

2 −

2 + 2x

−8

x→2 x

→−

x3 + x2 −4x −4

3.24.

lim

−4

3.30.

lim

+ 4

x→−2 x3

x→−2

−2

Пример 3.2. Вычислить предел lim

x +4

Решение.

x→0

x2 −3x

(

−2)(

+2)

−2

x +4

lim

x +4

= lim

2 −3x

(x2 −3x)(

+2)

x→0

= lim

x +4 −4

= lim

= −

x→0 x(x −3)(

x +4

+2)

x→0 (x −3)(

x +4

+2)

Задание 4. Вычислить пределы.

		x2
4.1. lim			.

	x2
x→0		+1 −1

4.3. lim x2 −x2x −8 .

x→1 −2

4.2. lim x2 3−−10xx+9 .

x→9

4.4. lim 2x +5 −3 . x→−2 3x −2 −2

4.5. lim

10 + x

+3x

x→−1

x2 + x

4.7. lim

2 − x

x→0

+4 −2

−

4.9. lim

4 + x

4 − x

x3 +2x

x→0

−1

4.11. lim

2x +1

x→0

3x +4 −2

−

4.13. lim

1+3x

1−2x

x2 − x

x→0

4.15. lim 2 −

x −3

x→7

x2 −49

4.17. lim

x2 +2x

+ x −

− x

x→0

−1

4.19. lim

x −2

x→3

x +6 −3

4.21. lim

5 − x

5x −5

x→5

−1

4.23. lim

2 + x

x→−1 x

+2x +1

−

4.25. lim

12 + x

6 − x

x2 +3x

x→−3

−2

4.27. lim

x +4

x→0

x2 −6x

4.29. lim

x2 −3x

−

x2 −4x

x→0

4.6. lim x2 3 −xx . x→9 −10 +9

4.8.xlim x2 x++31+2x .

→−1

4.10. lim

x2 −16

6x +1 −5

x→4

−2

4.12. lim

x +2

x→2

14 + x −4

−3

4.14. lim

7 + x

x→2

x4 −16

4.16. lim

x2 −5x +6

6 − x −2

x→2

−4

4.18. lim

−5x +4

x→4 x

4.20. lim

x2 + x +1

−1

x→0

−

4.22. lim

12 − x

−4x

x2 + x −12

x→−4

−

4.24. lim

3x +1

x +3

x2 −3x +2

x→1

−2

4.26. lim

3x −2

x→2

2x +5 −3

−

4.28. lim

x −3

2x −7

x2 −6x +8

x→4

4.30. lim

x2 + x −12

x −2 −

4 − x

x→3

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]