Математическое программирование-1

6. Как выглядит алгоритм отыскания базисных решений системы уравнений с использованием пакета MS Excel?

2.4. Задания для самостоятельной работы

Вариант 1.

1. Найти все базисные решения системы уравнений:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F 6x1 2x2 max.

Вариант 2.

1. Найти опорные решения системы уравнений:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F 2x1 4x2 max;

3x1 6x2 12

2x1 x2 2 ;x1 3x2 0

x1 0, x2 0.

30

Вариант 3.

1. Найти все базисные решения системы уравнений:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F 2x1 x2 min;

3x1 2x2 12

x1 2x2 8 ;2x1 3x2 6

x1, x2 0.

Вариант 4.

1. Найти опорные решения системы уравнений:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F 3x1 4x2 max;

2x1 x2 8x1 5x2 375x1 x2 49 ;3x1 4x2 113x1 4x2 19

x1 0, x2 0.

31

Вариант 5.

1.Найти неотрицательные решения системы линейных уравнений

инеравенств:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F x1 2x2 max;

4x1 2x2 12

x1 3x2 6 ;2x1 4x2 16

x1, x2 0.

Вариант 6.

1. Найти все базисные решения системы уравнений:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F x1 x2 max;

x1 2x2 145x1 3x2 15;4x1 6x2 24

x1, x2 0.

32

Вариант 7.

1. Найти опорные решения системы уравнений:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

Вариант 8.

1.Найти неотрицательные решения систем линейных уравнений

инеравенств:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F 2x1 x2 max(min);

2x1 4x2 16

4x1 2x2 8 ;x1 3x2 9

x1 0, x2 0.

33

Вариант 9.

1. Найти опорные решения системы уравнений:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F x1 x2 max;

x1 2x2 22x1 x2 2;x1 x2 5

x1 0, x2 0.

Вариант 10.

1. Найти опорные решения системы уравнений:

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F x1 x2 max;

x1 2x2 10x1 2x2 2 ;2x1 x2 10

x1, x2 0.

34

Вариант 11.

1. Найти все базисные решения системы уравнений:

4x1 x2 12x3 x4 6.2x1 x2 6x3 x4 2

2. Решить графически следующую ЗЛП:

F 2x1 x2 min;

x1 2x2 4x1 2x2 2 ;x1 2x2 10

x1 0, x2 0.

Вариант 12.

1. Найти все опорные решения системы уравнений

x1 x2 x3 3x4 16.x1 x2 x3 x4 8

2. Решить графически следующую ЗЛП

F 4x1 2x2 max;

x1 2x2 0x1 2x2 2 ;2x1 x2 10

x1 0, x2 0.

Вариант 13.

1. Найти все базисные решения системы уравнений:

35

2. Решить графически следующую ЗЛП:

ЗАНЯТИЕ 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД

3.1. Краткие теоретические сведения

Симплекс-метод. Максимум или минимум целевой функции может быть достигнут в одной из угловых точек области допустимых планов.

Сделанный вывод, на первый взгляд, позволяет предположить простой метод решения задач линейного программирования: надо просто «перебрать» все угловые точки области допустимых планов, в каждой из них вычислить значение целевой функции и выбрать ту угловую точку, где целевая функция оптимальна.

Однако количество угловых точек области допустимых планов растет очень резко с ростом числа переменных и особенно числа ограничений. Число перебираемых вершин можно сократить, если производить перебор не беспорядочно, а с учетом изменений целевой функции, т. е. добиваясь того, чтобы каждое следующее решение было «лучше» (или, по крайней мере, «не хуже»), чем предыдущее (было ближе к оптимальному решению).

Эта идея легла в основу универсального метода решения задач линейного программирования – симплекс-метода.

Симплекс-метод – один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования. Он был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум.

36

3.2. Практическая часть

Задача 3.1.

Найти какой-либо опорный план задачи (математически).

F3x1 x2 5 max;

x1 x2 x3 x4 4x1 2x2 x3 x5 7;2x1 x2 x4 x5 7

x j 0, j 1,5

Решить задачу в Excel, используя «Поиск решения».

Решение.

Задача записана в канонической форме, но 2 свободных члена отрицательны, поэтому, прежде чем записать задачу в форме таблицы, умножим первое и второе уравнение на (–1).

Для первого шага жорданова исключения возьмем разрешающим, например, четвертый столбец – в нем есть положительные элементы. Разрешающая строка определится по минимальному из отноше-

ний: 4/1 и 7/1.

которая и будет разрешающей.

37

Сделаем еще 2 шага жордановых исключений, получим:

38

Базис выделен. Ему соответствует начальный опорный план x1 0, x2 0, x3 2, x4 2, x5 5 0 0, 0, 2, 2, 5 , F( 0 ) 5.

Был найден опорный план в базисе x3, x4 , x5. Если исходную

таблицу преобразовать с другими разрешающими элементами, то получится другой базис, следовательно и другой опорный план.

Решение задачи в процедуре EXCEL «Поиск решения»

1) Ввод данных в таблицу EXCEL (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Для переменных задачи отведены ячейки B3:F3. Эти ячейки называются рабочими или изменяемыми ячейками. В изменяемые ячейки ничего не заносится и в результате решения задачи в этих ячейках будет оптимальные значения переменных.

В ячейку G4 вводится формула для вычисления целевой функции задачи F 3x1 x2 5 (рис. 3.2):

Рис. 3.2

39