Математическое программирование-1

Стратегия A4 строго доминируется стратегией A3.

Получили матрицу выигрышей, где у игроков A и B нет доминирующих стратегий.

Сначала найдем оптимальную стратегию игрока B.

Заметим, что 0 и решим следующую задачу линейного программирования.

Максимизировать функцию Z y1 y2 max приограничениях:

y1 4 y2 13y1 y2 1 .2 y1 3y2 1y1, y2 0

Так как переменных всего две, то эту задачу линейного программирования проще всего решить графическим способом. Построим множество допустимых решений, т. е. область, описываемую этими неравенствами и ограниченную прямыми:

По оси абсцисс будем откладывать y1, а по оси ординат y2. Область допустимых значений закрашена серым цветом на рис. 7.5.

110

Рис. 7.5

Строим линии уровня Z y1 y2, которые имеют вид y1 y2 C,

где C – произвольная постоянная. Для увеличения C прямая должна занимать максимально «высокое» положение, но имея с областью допустимых решений хотя бы одну точку, как показано на рис. 7.6.

111

Рис. 7.6

Такое положение прямой – проходящее через точку . Найдем ее координаты как пересечение двух прямых.

7 y1 2 y1 72 ; y2 3 72 1 76 1 71 .

112

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока B имеет вид

q* 2 , 1 , 0, 0, 0 .

3 3

Для нахождения оптимальной стратегии игрока А решаем следующую задачу линейного программирования.

Минимизировать функцию F x1 x2 x3 min при ограничениях

x1 3x2 2x3 1.4x1 x2 3x3 1

Для решения этой задачи применим симплекс-метод.

Запишем систему ограничений в каноническом для симплексметода виде:

x1 3x2 2x3 1.4x1 x2 3x3 1

Введем такие дополнительные переменные, что неравенства преобразуются в равенства

x1 3x2 2x3 x4 1.4x1 x2 3x3 x5 1

Первый опорный план: X1 0, 0, 0, 1, 1 и целевая функция

F 0 0 0 0.

113

Занесем данные в симплекс-таблицу:

Значение базисных переменных отрицательны, нас такая ситуация не устраивает. Выберем среди значений базисного столбца наибольший по модулю. Оба таких значения равны 1, выберем первую строку (делим элементы целевой строки на элементы выбранной):

Это значение соответствует второму столбцу, т. е. в базисе x4 следует вывести, а x2 – ввести. Разрешающий элемент (–3), стоя-

щий на пересечении первой строки и второго столбца. Пересчитаем элементы таблицы по методу Жордана-Гаусса.

114

Среди значений базисных переменных присутствуют отрицательные значения, план не является оптимальным. Максимальное значение столбца базисных переменных (по модулю) 2/3, это соответ-

Среди значений базисного столбца нет отрицательных переменных, т. е. получен оптимальный план:

7.3. Контрольные вопросы

1. Какое основное назначение теории игр?

2. Что называется стратегией игры?

3. Вчем сутьчистыхи смешанныхстратегий икаковы ихсвойства?

115

4.Каковы понятия максиминной и минимаксной стратегий?

5.В чем заключается приведение матричной игры к задаче линейного программирования?

6.Каков способ нахождения оптимальной стратегии игрока с помощью пакета MS Excel?

7.Что означает оптимальная смешанная стратегия игрока?

8.Как определить оптимальные стратегии игроков геометрически и с помощью симплекс-метода?

7.4. Задания для самостоятельной работы

Решить матричные игры, имеющие платежные матрицы вида:

Матричную игру решить с помощью симплекс-метода и пакета

MS Excel.

116

ЗАНЯТИЕ 8. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА (ТЗ)

8.1. Краткие теоретические сведения

Одним из частных случаев задач линейного программирования является транспортная задача. Цель данной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок, при котором минимальной была либо стоимость перевозок, либо минимальным было время доставки груза.

В общем виде транспортную задачу можно представить следующим образом: в m пунктах производства A1, A2 , , Am имеется

однородный груз в количествах, соответственно, a1, a2, , am. Этот груз необходимо доставить в n пунктов назначения B1, B2 , , Bn в количествах, соответственно, b1, b2 , , bn. Стоимость перевозки 1 ед. груза (тариф) из пункта Ai в пункт B j равна cij.

Требуется составить план перевозок так, чтобы:

1)мощности (запасы) всех поставщиков были реализованы;

2)заказы всех потребителей были удовлетворены;

3)суммарные затраты на перевозку были бы минимальны. Исходные данные транспортной задачи записываются в виде

таблицы (табл. 8.1).

Таблица 8.1

117

Виды транспортных задач

В зависимости от соотношения между суммарными запасами груза у поставщиков и суммарными потребностями в нем потребителей транспортные задачи делятся на два вида: закрытые и от-

крытые.

Определение 8.1. Если сумма запасов груза у поставщиков равна суммарной потребности в нем потребителей, т. е.

то транспортная задача называется закрытой. Определение 8.2. Если условие (8.1) не выполняется, т. е.

то транспортная задача называется открытой.

Теорема 8.1 (необходимое и достаточное условие разрешимо-

сти ТЗ). Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось равенство (8.1).

8.1.1. Математическая модель закрытой транспортной задачи

Рассмотрим закрытую транспортную задачу.

1. Неизвестными транспортной задачи являются xij – объемы

перевозок от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные также можно записать в виде матрицы перевозок:

118

2. Так как произведение cij xij определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты

m n

на перевозку всех грузов равны cij xij . Т. е. целевая функция

i 1 j 1

будет иметь вид

m n

F cij xij min. i 1 j 1

3. Система ограничений транспортной задачи состоит из двух групп уравнений.

Первая группа состоит из m уравнений и описывает тот факт, что запасы всех поставщиков A a1, a2, , am вывозятся полностью, т. е.:

n

xij ai ; i 1,m. (8.2)

j 1

Вторая группа состоит из n уравнений и выражает требование полностью удовлетворить запросы всех n потребителей:

B b1, b2 , , bn , т. е.

4. Оптимальным решением транспортной задачи является матрица размерности m n, удовлетворяющая системе ограничений

и обеспечивающая минимум целевой функции.

119