Топологическими уравнениями для моделей поступательных механических систем являются:

уравнение равновесия сил (принцип Даламбера);

n

∑Fi = 0

i=1

уравнение, выражающее принцип сложения скоростей, согласно которому сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю:

m

∑Vi = 0

i=1

Рассмотрим в качестве примера модель для анализа динамики газораспределительного механизма с верхним расположением распределительного вала при абсолютно жестком приводе клапана (рис.4.10). В этом случае модель состоит из упругого элемента 1, приведенной массы клапана 2 и кулачка 3, вращающегося с угловой скоростью W и определяющего закон движения. Приведенная масса М клапана перемещается в такой модели кулачком, профиль которого совпадает с профилем реального кулачка. Вследствие простой структуры модели ГРМ для составления уравнения движения массы М можно использовать второй закон Ньютона. В общем случае на приведенную массу М действуют: суммарное усилие пружин Рп; сила трения Р т; сила давления газов на тарелку клапана Рг.

Тогда уравнение движения массы М будет иметь вид

Mx′′ = −Pп - PT − PГ

где х - действительное (с учетом упругих деформаций звеньев) перемещение массы М, совпадающее с перемещением клапана.

Решение данного уравнения осуществляется численными методами, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования.

1.2.4.2.2.2. Моделирование механических вращательных систем

При моделировании механических вращательных систем в качестве простейших элементов выступают, (рис. 4.11):

элемент, моделирующий свойство инерционности, описываемый моментом инерции относительно некоторой оси;

элемент, моделирующий свойство упругости, описываемый крутильной жесткостью;

элемент, моделирующий потери механической энергии (диссипативный элемент).

Рисунок 4.11. Схемы простейших элементов механических вращательных систем

Фазовыми переменными механической вращательной системы выступают: момент сил М, угол поворота θ, угловая скорость W.

Компонентное уравнение для инерционного элемента имеет вид

M= I dW .

dτ

При достаточно малых углах поворота θ, компонентное уравнение для элемента, отображающего свойства упругости, имеет вид

M=Cθ.

Для вязкого трения компонентное уравнение диссипативного элемента будет иметь вид:

M = WR ,

где R=1/к –коэффициент трения вращения.

Рассмотрим математическую модель механической вращательной системы на примере одномассовой крутильной системы с одной степенью свободы (рис. 4.12.).

Рисунок 4.12. Одномассовая крутильная система с одной степенью свобо-

ды