1.2.4.1.1.4Уравнение энергии

wx = wy = wz = 0 .

Предположив также постоянными величинами С, ρ, a = λCρ , получим дифференциальное уравнение неподвижного твердого тела:

1.2.4.1.2 Механика упругого твердого тела

При проектировании различных элементов ДВС важное значение, для определения выходных параметров, имеет возможность определения напряженного деформированного состояния проектируемых элементов. Знание напряжений и деформаций, возникающих в элементах ДВС на различных режимах работы, позволяет оценить прочность, долговечность, виброустойчивость конструкции.

Модели для анализа напряжений и упругих деформаций твердых тел разрабатывают с использованием основного уравнения теории упругости: уравнения Ламе. Это уравнение получают из условия равновесия сил, действующих на элемент твердого тела, в напряжении оси х (рис.4.2):

Рисунок 4.2. К выводу уравнения Ляме

где ρ - плотность;

gMi - проекция вектора массовых сил GM, приходящихся на единицу объе-

ма, на ось Хj;

wi - перемещение элемента вдоль оси Хj;

σij - напряжение, действующее вдоль оси Хj на грань элемента, перпендикуляр-

ную оси Хj.

Напряжения связаны с деформациями, а деформации, в свою очередь, с перемещениями уравнениями, описывающими свойства сплошной среды. В случае линейной связи имеем:

j=1

σij = 2µεij ; при i ≠ j.

где Е - модуль упругости Юнга; ٧ – коэффициент Пуассона.

Так как деформация связана с перемещением зависимостью

то после подстановки в исходное уравнение получим уравнение Ламе:

(λ + µ)grad(divW ) + µ W +Gm = ρ ∂2W ;

∂τ 2

где: W - вектор перемещения;

- оператор Лапласа.

Втакой форме уравнения, как правило, не удается довести до конечного решения, поэтому чаще в этом случае используются интегральные уравнения, вытекающие из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа устанавливает, что потенциальная энергия механической системы получает стационарное значение на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия систем. Математическое описание в данном случае представляется в виде:

П=Э-А, где П – потенциальная энергия механической системы;

Э– энергия деформации системы;

А – работы внешних сил.

Выражение для энергии деформации всей системы имеет вид:

Э = 0.5∫εT σdV;

V

ε = (ε11,ε22 ,ε33 ,ε12 ,ε13 ,ε23 );σ = (σ11,σ22 ,σ33 ,σ12 ,σ13 ,σ23 ),

где ε - вектор деформаций; σ - вектор напряжений.

С учетом связи между деформациями и напряжениями σ = Dε . Окончательно получим:

П = 0.5∫εT Dεdv − A.

V

Минимизация полученного функционала, выполняемая одним из численных методов, позволяет рассчитать искомые значения перемещений, деформаций, напряжений.

1.2.4.1.3 Механика жидкостей и газов

Этот раздел знаний изучает законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также их взаимодействия с твердыми поверхностями. При проектировании ДВС задачи такого типа встречаются при разработке моделей рабочего процесса, анализе систем впуска и выпуска, разработке ГРМ, смазочной системы и охлаждения. Математические модели жидких сред позволяют определить поля скоростей, давлений и плотности жидкости, движущиеся под действием внешних сил. Поскольку с математической точки зрения различия между жидкостью и газом заключаются в характере зависимости их плотности от давления, то используется одно понятие – жидкость.

К основным моделям в данной области относятся:

несжимаемая жидкость - капельная жидкость или газ, плотность которой не зависит от давления;

сжимаемая жидкость – газ, плотность которого меняется при изменении давления;

идеальная жидкость - жидкость, в которой отсутствует внутреннее тре-

ние;

баротропная жидкость - жидкость, плотность которой зависит только от давления.

Фазовыми переменными для всех моделей жидкости выступают: скорость; плотность; давление.

В качестве законов сохранения рассматриваются: 1. Закон сохранения энергии

∂∂Pτ +U ∂∂Px + ρa2 ∂∂ax = 0 ; где u – скорость, а – скорость звука

2. Закон сохранения массы, описываемый уравнениями неразрывности (сплошности) жидкости

∂∂ρτ + U ∂∂ρx + ρ∂∂Ux = 0 ; ,где ρ - плотность, U - скорость

3. Закон сохранения количества движения, описываемый уравнением Эйлера для идеальной жидкости и уравнением Навье-Стокса для вязкой жидкости: