Математический анализ. Ч. 1

Наибольшее значение производной по направлению в точке M будет равно:

1256 35,44009.

5.7.Частные производные высших порядков

x, y D. Частные производные этих функций называются част-

ными производными второго порядка:

Аналогично вводятся понятия частных производных 3-го, 4-го, , n-го порядков, причем и для случая 3-х, 4-х и более переменных.

51

5.8. Локальный экстремум функции многих переменных

Пусть функция u f x1, x2, , xn определена в области D пе-

ременных x1, x2, , xn , а точка M0 x01, x02 , , x0n является внутренней точкой этой области D.

О п р е д е л е н и е . Точка M0 называется точкой (локального) максимума (минимума) функции f, если существует такая -окрест-

ность точки M0, что для любой точки M x1, x2 , , xn D выполняется неравенство

f M f M0 (соотв. ).

Если же для некоторой указанной -окрестности знак равенства может быть только в точке M M0, то соответствующий макси-

мум (минимум) называется собственным или строгим (в противном случае – нестрогим, несобственным).

Для обозначения максимумов и минимумов применяется и об-

щий термин – экстремум, локальный экстремум.

Т е о р е м а 5.2 (необходимое условие локального экстре-

мума). Пусть функция u f x1, x2, , xn в некоторой точке

M0 x01, x02 , , x0n имеет экстремум. Тогда, если в этой т. M0 существуют конечные частные производные первого порядка, то

все эти частные производные равны нулю:

53

Точки M0 с таким свойством называются стационарными критическими точками функции f.

Достаточные условия существования экстремума функ-

ции двух переменных. Рассмотрим функцию двух переменных u f x, y . Для нее справедлива

Т е о р е м а 5.3 (достаточное условие экстремума). Пусть точка M0 x0, y0 является стационарной критической для функ-

ции u f x, y и в точке M0 и некоторой ее -окрестности f x, y имеет непрерывные частные производные до второго по-

быть, а может и не быть (т. е. требуется дополнительное исследование).

П р и м е р 5.13. Исследовать на экстремум функцию

zx2 4xy 8y2 x 5y 2 .

Ре ш е н и е. Определяем стационарные точки исходной функ-

ции из условия zx 0

z 0.y

54

Достаточное условие будем проверять с помощью определителя

Следовательно, экстремум существует. Так как A zx2 2 0, то в т. M будет минимум: zmin 161 83 98 14 158 2 1916 .

П р и м е р 5.14. Найти экстремум функции

z3x2 y y3 18x 30 y 4.

Ре ш е н и е. По необходимому условию существования экстремума имеем:

55

Получили четыре точки, подозреваемые на экстремум:

M1 1, 3 , M2 1, 3 , M3 3,1 , M4 3, 1 .

литель будет равен

6 y 6 y 6x 2 36 y2 36x2.

Вточке M1 1, 3 M1 36 9 36 1 0. Следовательно, в этой

точке существует экстремум. Так как A M1 18 0, в точке M1 будет минимум:

zmin z M1 3 12 3 33 18 1 30 3 4 68.

56