Математический анализ. Ч. 1

к нулю эту производную, получим 1 x2 0. Следовательно, x1 1, x2 1 – критические точки функции. Кроме того, в точке x3 0 y не существует (x3 0 не входит в область определения функции,

поэтому эта точка является точкой разрыва). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности.

Исследуем знаки производной y на этих интервалах, укажем вид интервалов монотонности функции, характер критических точек.

ма функции, y 1 y 1 1 – максимумы функции. Точек минимума нет.

4.2. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

О п р е д е л е н и е . График дифференцируемой функции y f x называется выпуклым (вогнутым) на интервале a; b , если дуга кривой на этом интервале расположена ниже (выше) всякой касательной, проведенной к графику функции y f x на a; b .

О п р е д е л е н и е . Точка x0, f x0 , при переходе через которую направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба графика функции y f x .

На рис. 4.2 график функции y f x на интервале a; x0 – вогнутый, на интервале x0; b – выпуклый, а точка M x0, f x0 . является точкой перегиба графика.

31

касательная

. выпуклый

вогнутый

касательная

Рис. 4.2

Т е о р е м а 6 (достаточные условия выпуклости (вогнутости)

графика функции). Если функция y f x во всех точках интервала a; b имеет вторую производную и f x 0 f x 0 , то график функции на интервале a; b выпуклый (вогнутый).

Точки, в которых f x обращается в ноль или f x не суще-

ствует, называются критическими точками второй производной.

Таким образом, область определения функции y f x разби-

вается на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости (вогнутости). Каждый из этих интервалов ограничен

точками, в которых f x 0 или f x не существует.

П р и м е р 4.2. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точ-

Критическими точками второй производной являются точки x1 1, x2 1. Эти точки разбивают область определения функции

на 3 интервала, на каждом из которых сохраняется направление вогнутости или выпуклости. Определим знаки второй производной

на этих интервалах, характер точек x1 1, x2 1.

перегиба графика функции.

4.3.Асимптоты графика функции

Оп р е д е л е н и е . Прямая l называется асимптотой графика функции y f x , если расстояние от точки M x, f x графика

функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении точки M от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

33

Прямая x a является вертикальной асимптотой графика функции y f x , если хотя бы один из односторонних пределов

lim f x равен бесконечности.

x a 0

В этом случае точка x a является точкой разрыва 2-го рода функции y f x .

Для существования наклонной асимптоты y kx b необходимо и достаточно существование двух пределов:

Если в уравнении y kx b коэффициент k равен нулю, то имеем

горизонтальную асимптоту y b .

Заметим, что не всегда прямая, являющаяся асимптотой графика функции при x , будет являться асимптотой того же графика

при x . Поэтому при отыскании наклонных асимптот нужно отдельно исследовать случаи при x и x .

Следовательно, прямая y 2x – наклонная асимптота.

4.4.Общая схема исследования функции

ипостроения графика

Исследование функции и построение ее графика удобно выполнять по следующей схеме.

1.Найти область определения функции.

2.Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.

4.Найти асимптоты графика функции.

5.Исследовать функцию с помощью первой производной: установить интервалы монотонности функции, найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.

6.Исследовать функцию с помощью второй производной: определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

7.Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участков кривой можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек (в частности, координаты точек пересечения графика

сосями координат).

35

ить ее график.

Р е ш е н и е . Областью определения функции является совокуп-

Функция не периодическая.

Функция не определена при x 1. Исследуем поведение функции в окрестности этой точки.

36

Решаем уравнение y 0:

Производная y не существует при x 1. Укажем интервалы монотонности.

мума, y 2 3.

Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Находим критические точки второй производной.

y не обращается в ноль, но в точке x 1 y не существует (хотя в этой точке функция не определена).

Точек перегиба нет.

37

Точки пересечения с осью Ox найдем из уравнения f x 0, а точки пересечения с Oy получим при x 0:

с осью Oy.

Строим график функции (рис. 4.3).

график.

Р е ш е н и е . Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точек x 2.

38

Функция нечетная, так как y( x) y(x), ее график симметри-

чен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию для x 0.

обращается в нуль при x 0 и не существует при x 2. Исследования на возрастание/убывание и выпуклость/вогнутость

Поскольку y 0 при x ( 2; 0) и y 0 при x (0; 2), то х = 0 –

абсцисса точки перегиба, О(0, 0) – точка перегиба.

Используя полученные данные, строим график функции (рис. 4.4).

y

Рис. 4.4

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ленное действительное число u f M f x1, , xn , то говорят,

что на множестве D задана числовая функция f от n переменных: u f M f x1, , xn .

40