Математический анализ. Ч. 1

y

4xy2 2x 5

.

1

4x2 y

Если функция y y(x) задана параметрически соотношениями

x t ,

x x t ,

или

(3.2)

y t , t ;

y y

t , t ; .

то ее первая производная yx находится по формуле:

y

yt

.

(3.3)

x

xt

П р и м е р

3.5. Найти производную 1-го порядка функции, за-

данной параметрически: x 2cost,

y 2sin t, t 0; 2 .

21

Р е ш е н и е .

Найдем

производную yx по

формуле

(3.3):

yt

2cost

yt 2sint t 2cost;

xt 2cost t 2sint, yx

сtgt.

xt

2sint

3.4. Дифференциал функции

Пусть функция y f (x)

дифференцируема в точке x0 (a; b) . То-

гда

lim

y x0

f x0 и

y x0

f x0 x ,

где x 0

x 0

x

x

при

x 0 .

Из

последнего

равенства

получаем,

что

y x0 f x0 x x x .

f x0 x, являющееся глав-

О п р е д е л е н и е . Произведение

dy f x dx.

(3.4)

x

1

1

f x arcsin

3

,

3

1

x

2

9

тогда dy

1

dx

1

dx.

3 1

x2

9 x2

9

22

y x0 x y x0 f x0 x.

(3.5)

П р и м е р 3.7. Найти приближенно 3 128.

Р е ш е н и е . Применим формулу (3.5), записав, что

3 128 3 125 3 3 125(1

3

) 5 3 1

3

.

125

125

Здесь

f (x) 3 x, x

1,

x

3

,

f (x)

1

1

.

0

125

3

3 x2

Тогда

3

3 1 1

1

3

5 1

1

5 1 0,008 5 1,008 5,04.

128 5

3

2

3

125

1

125

О п р е д е л е н и е . Производной

второго

порядка

функции

y f (x)

называется производная от ее производной y

f (x), т. е.

y d2 y

( y ) . Аналогично определяются производные более вы-

dx2

(n)

( y

(n 1)

соких порядков y

( y ) , , y

) .

y f (x)

Дифференциалы высших порядков функции

(x – неза-

висимая переменная) вычисляются по формулам

d

2

2

, , d

n

y

y

(n)

(dx)

n

.

y y (dx)

Если функция

y y(x)

задана параметрически соотношениями

x x(t),

y y(t),

причем

x (t) 0,

то ее первая yx и вторая yxx

производные находятся по формулам:

y

yt

,

y

( y )

( yx )t

.

(3.6)

x

xt

xx

x x

xt

1

2

2 3

3!

(n)

n n!

y

x2 ;

y

x3 ;

y

x 4 x4 , , y

( 1)

xn 1 .

П р и м е р

3.9. Найти производную 2-го порядка от функции

y

y y(x), заданной неявно уравнением

x2 y2

e

arctg

x .

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей

0 и

).

0

Т е о р е м а . Пусть функции

f x

и g x дифференцируемы

g x

x0 . Если lim f x 0 и

lim g x 0

на U x0 ;

0, x U

f x

x x0

x x0

(или lim

и lim

g x ), то

x x0

x x0

lim

f x

lim

f x

(3.7)

g x

x x0

g x

x x0

2. Если частное

f x / g x в точке

x0

также есть неопреде-

0

f

x

x удовлетво-

ленность вида 0 или и производные

и

g

П р и м е р

3.11. Найти

lim sin2x sin3x .

x 0

arcsin x

Р е ш е н и е . Используем формулу (3.7)

sin 2x sin 3x

0

2cos 2x 3cos3x

lim

lim

1.

arcsin x

1

x 0

0

x 0

1 x2

1 lim cos x x sin x cos x

1

2 x 0

3x2

6

(здесь дважды использован предел lim sin x 1 ).

x 0

x

1

1

1

sin x

Поскольку

lim

ln y

,

то lim y

lim

x2

e

6

x

6 .

x 0

x 0

x 0

(убывающей) в интервале a; b , если из неравенства x1 x2 ,

где

x1, x2 a; b ,

следует неравенство f x1 f x2 (или, соответст-

венно, f x1

f x2 ).

Функция f

x называется постоянной на интервале a; b ,

ес-

a; b и f x 0 для всех

x a; b , то функция f x возрас-

тает на a; b , если же f

x 0 для всех x a; b , то f x

такая, что для всякой точки x x0

из этой окрестности выполня-

ется неравенство f x f x0 (или

f x f x0 ).

Точки минимума и максимума функции

f x

называются ее точ-

ками экстремума, а значения функции

f x

в этих точках назы-

Т е о р е м а 3 (необходимое условие экстремума). Если x0 –

точка экстремума функции

f x , то в этой точке f x0 0

или f x0

не существует.

Точка x0,

в которой f x

обращается в ноль или

f x не су-

ществует, называется критической точкой функции

f x .

Т е о р е м а

4 (первое достаточное условие экстремума).

Пусть функция f

x дифференцируема в некоторой окрестно-

сти ( x0 , x0 )

критической точки x0 , за исключением, быть

может, самой точки x0 , и при переходе через нее (слева направо)

производная f x

меняет знак с плюса на минус, тогда x0 есть

точка максимума; если f x меняет знак с минуса на плюс, то

x0 – точка минимума функции f x . Если же f x сохраняет

знак при переходе через точку x0 , то x0 не является точкой экс-

тремума функции.

29

Т е о р е м а

5 (второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция

f x дважды дифференцируема в критической

точке x0

и в некоторой ее окрестности ( x0 , x0

). Тогда,

если f x0 0 ,

то

x0 – точка максимума функции

f x , если

f x0 0

, то

x0

– точка минимума функции f x . Если же

f x0 0

, то требуются дополнительные исследования.

– не существует

касательная

Рис. 4.1

П р и м е р

4.1. Найти интервалы монотонности и точки экстре-

мума функции

y

2x2

1

.

x

4

Р е ш е н и е .

Область

определения

этой

функции:

; 0 0; .

Найдем производную: y

4 1 x2

. Приравняв

x5

30