7.1.Математическая олимпиада БПИ 1986 года (I тур)

1.Квадратная матрица A удовлетворяет уравнению A3 2A 5E O, где E – единич-

ная матрица, O – нулевая матрица. Доказать, что матрица A невырождена и найти A 1.

(2 балла)

Решение. Из уравнения следует, что A(A2 2E) 5E, откуда | A || A2 2E | ( 5)n , где n – порядок матрицы A. Следовательно, | A | 0, т.е. матрица A невырожденная. Далее, так

как E 15 A(A2 2E), то после умножения слева обеих частей этого равенства на обратную матрицу, получим:

A 1 15 (A2 2E).

Ответ. 15 (A2 2E).

2. Найти угол между касательными к параболоиду x2 y2 2z, проведёнными в точ-

Решение. Найдём точки пересечения прямой и параболоида:

Получаем две точки: M1(0, 2, 2), M2 (0, 4, 8). Они принадлежат данной плоскости. Пусть F(x, y, z) 2z x2 y2. Тогда Fx 2x, Fy 2y, Fz 2 и, значит, нормальные векторы касательных плоскостей к параболоиду в точках M1, M2 равны, соответственно, n1(0, 4, 2),

n2 (0, 8, 2). Плоскость x y z 4 0 имеет нормальный вектор n(1, 1, 1). Найдём направля-

значение. (5 баллов)

Решение. Так как

y 12x3 12x2 (cos sin ) 6x sin 2 12x(x2 (cos sin )x sin cos ),

то функция имеет три критические точки x1 0, x2 cos , x3 sin . Поскольку

y(x1) 0, y(x2 ) y( cos) cos2 (cos2 sin 2 ) 0, y(x3 ) y(sin ) sin2 (sin2 sin 2 ) 0,

то минимальное значение функция принимает в одной из точек x2 или x3. Сравним значения

Ответ. 4 .

1dx

5.Вычислить интеграл 1 (ex 1)(1 x2 ). (3 балла)

Решение. Обозначим искомый интеграл через I и проведём в нём замену переменной

6. Найти сумму всех дробей вида n1m , m,n 2,3,4, . (2 балла)

Решение. Использовав сумму ряда геометрической прогрессии, получим:

(1 u2 )v v 3uv2 0.

41

Рассмотрим два случая.

а) v 0 u 0 u C1 y C1 y C1x C2. Таким образом, в этом случае интегральными кривыми являются прямые.

Следовательно, здесь интегральные кривые представляют собой полуокружности с уравне-

Ответ. Прямые и полуокружности.

8. С помощью разложения в ряд по степеням x найти решение дифференциального уравнения x2 y xy x2 y 0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) , y (0) 0, где

– отличное от нуля заданное число; определить область существования полученного ре-

шения; составить блок-схему и программу вычисления приближённого значения найденного решения с точностью в произвольной точке x0 , принадлежащей области существования решения. (6 баллов)

Решение. Искомое решение имеет вид:

y a2 x2 a3 x3 an xn ,

где an ,n 2 – неопределённые коэффициенты. Так как

y 2a2 x 3a3 x2 nan xn 1 , y 2a2 6a3 x n(n 1)an xn 2 ,

то

x2 y xy x2 y 2a2 x2 6a3 x3 n(n 1)an xn

2a2 x2 3a3 x3 nan xn x2 a2 x4 a3 x5 an xn 2

(4a2 )x2 9a3 x3 (16a4 a2 )x4 (2n 1)2 a2n 1x2n 1 ((2n)2 a2n a2n 2 )x2n 0.

Отсюда

42