5.1.Математическая олимпиада БПИ 1984 года (I тур)

условиям: A O, A2 O, A3

O, где O – нулевая матрица.

Решение. Утверждение следует из равенств:

(E A A2 Ak 1)(E A) E A A2 Ak 1 (A A2 Ak ) E,

(E A)(E A A2 Ak 1) E.

0

1

0

0

0

1

Для матрицы A

0

0

1

имеем

A2

0

0

0

, A3

O.

0

0

0

0

0

0

Решение. Расстояние d(x, y) от точки M (x, y)

до данной прямой равно

d (x, y)

| x y 2 |

. Значит, для точек параболы

2

d (x, x2 ) | x x2 2 |

x2 x 2

(x 0,5)2 1,75.

2

2

2

Ответ.

7

.

4

2

1

1

1

3. Вычислить lim 1

1

1

.

22

n2

n

32

Решение.

1

1

1

22 1

32 1

n2 1

lim 1

1

1

lim

22

n2

22

32

n2

n

32

n

1 3

2 4

(n 1)(n 1)

n 1

1

1

1

lim

lim

lim

1

.

32

n2

2n

2

2

n 22

n

n

n

Ответ.

1 .

2

x2n sin x x2

4. Построить график функции f (x) lim

2

.

x2n 1

n

An

n 2 2 n 1 n

2 3 n n 1 n 2

n

Следовательно,

1

lim An

lim

n 2

n 1

1 lim

1

0 1 1.

n 2

n 1

n

n

n

Ряд сходится.

Решение. Это линейное дифференциальное уравнение. Умножив обе его части на e2x ,

получим xe2x

y (1 2x)e2x y e2x .Заметим далее, что (xe2x y) xe2x y (1 2x)e2x y. От-

сюда, (x e2 x y) e2 x

и, значит, x e2

x

y

e2x

C.

Подставив сюда начальное условие, находим

2

C

e2

. Следовательно, x e

2x

y

e2x

e2

y

1 e2(1 x)

.

2

2

2

2x

Ответ.

y

1 e2(1 x)

.

2x

1

n

1

8. Вычислить lim

ln 1

dx.

n

n

1

x

Решение. Так как при x 1 выполняется неравенство

1

1

1

1

ln 1

,

2x

x

x

x

то

n

1

1

n

1

n

dx

1

n

1

dx ln 1

dx

2

n

2

ln n 2 ln 1

dx 2 n 2.

1

x

2x

1

x

1

x

1

x

1

Отсюда, учитывая, что lim

2

n

2 ln n 2

lim 2

n 2 2, следует, что

n

n

n

n

1

n

1

lim

ln 1

dx

2.

n

n

1

x

i

j

k

L1 1 2 : l1 n1 n2

1

2

2

6i

3 j 6k ;

2

2

1

i

j

k

L2 2 3 : l2

n2 n3

2

2

1

18i

9 j 18k ;

5

14

2

i

j

k

14 2

L3 3 1 : l3 n3 n1

5

24i

12 j 24k .

1

2

2

то L1 ||L2 , L2 || L3 и, значит, данные плоскости образуют призму.

Так как l1 ||l2 , l2 || l3 ,

Расстояния от любой точки M (x,

y, z) вписанного в призму цилиндра до плоскостей

равны радиусу r цилиндра:

r

| F1(M ) |

| F2 (M ) |

| F3 (M ) |

r

| F1(M ) |

| F2 (M ) |

| F3 (M ) |

.

| n1 |

| n2 |

| n3 |

3

3

15

Раскроем модули в числителях. Возьмём какую-нибудь точку на прямой L1,

например,

M1(1, 2, 0). Для неё F3 (M1) 12 0, следовательно, во всех точках призмы F3 (M ) 0 и, зна-

чит, | F3(M ) | F3(M ). Аналогично убеждаемся в том, что | F1(M ) | F1(M ), | F2 (M ) | F2 (M ).

Тогда

F1 (M )

F2 (M )

F3 (M )

F (M ) F (M ) 0; 5F (M ) F (M ) 0.

3

3

15

1

2

1

3

29

x z 1 0,

3 0.

2y z

Возьмем точку на оси, например,

M0 (0, 2, 1). Тогда радиус цилиндра равен

r

F1(M 0 )

1.

3

3

Ответ. r

1

x z 1 0,

3

;