Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1314 вуза, 5303 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
28.12.2025
Размер:
4.98 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

35.2. Математическая олимпиада БНТУ 2023 года (2 курс)

28 апреля 2023 года

1. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр

1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра в записи числа может встречаться несколько раз?

Решение. Каждое из таких чисел может заканчиваться на 12, 32, 52, 24, 44. Первые две цифры могут быть любыми из этого набора. Следовательно, существует 555 125 указанных чисел.

Ответ. 125.

x u v,

y u 2 v2 ,

2. Функция z аргументов x и y задана системой уравнений

z u3 v3.

Найти xz , yz .

Решение. Продифференцировав почленно первое и второе уравнения системы по пере-

 

 

u

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

v

,

v

 

u

.

 

менной x, получим:

 

u

 

 

v

Отсюда следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

Анало-

 

 

 

x

v u

x

u v

 

 

 

 

2v

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

v

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

u

 

 

1

 

 

v

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

. Дифференцируя,

гично, из системы

 

 

 

 

 

 

 

мы найдём

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

v

 

 

y

 

2(u v)

y

2(v u)

 

 

2u

 

2v

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

далее, почленно третье уравнение по переменной x, мы получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 3u2 u 3v2 v

 

3u2v

3v2u

3uv.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

x

 

v u

 

 

u v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично,

z

3u2

u

 

3v

2 v

3u2

 

3v2

 

 

3 (u v).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

2(u v)

2(v u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

z

3uv,

z

 

 

3 (u v).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы m, если известно,

что работа действующей на точку силы пропорциональна времени t, протекшему от начала движения (коэффициент пропорциональности k). Начальный путь и начальная скорость равны, соответственно, s0 и v0.

184

Решение. Пусть s s(t), F(s(t)) – пройденный путь и действующая на точку сила в мо-

t

мент времени t, соответственно. Работа силы по истечении времени t равна F (s( ))ds( ) и,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит, по условию задачи F (s( ))ds( ) kt,

откуда после почленного дифференцирования

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мы получаем:

F (s(t))s (t) k F (s(t))

 

k

.

 

Тогда по второму закону Ньютона, мы можем

 

s (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

записать: ms (t) F (s(t)) ms (t)

k

 

 

ms (t)s (t) k. Проинтегрируем почленно послед-

s (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(s ( ))2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нее уравнение: ms ( )s ( )d kt m

 

 

 

 

 

 

 

 

kt. Отсюда,

учитывая,

что

s (0) v0 , мы

 

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

3

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

2

 

 

 

 

 

m

 

2

2

 

 

 

s (t)

 

 

 

t v0

s(t) s0

 

 

 

v0 d s0

 

 

 

 

 

 

 

v0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3k

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

2

2

3

 

 

 

 

m

 

 

2

2

 

 

mv0

s0 .

 

 

 

 

 

 

s0

 

 

 

 

 

 

 

t v0

 

 

 

 

v0

 

 

 

 

 

 

t v0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3k

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

3k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

3

 

mv03

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s(t)

 

m

 

 

2

2

 

 

 

s0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

 

 

 

 

 

t v0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3k

m

 

3k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e ax2 e bx2

dx, где a > 0, b > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Вычислить

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Рассмотрим несобственный интеграл I (y) x e yx 2

dx с параметром y, таким,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что y y0 0.

Он сходится и равен I (y) x e yx2 dx

e yx2

 

 

 

 

. Поскольку, очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2y

 

 

 

0

 

 

 

2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x e yx 2 x e y0 x 2 , x 0, y y0 , то интеграл I (y)

сходится равномерно и, следовательно, допус-

кает интегрирование по параметру под знаком интеграла. Таким образом, с одной стороны,

b

b

dy

 

1 ln

b

 

I (y)dy

 

,

2y

 

a

a

 

2

a

 

а, с другой, мы имеем:

185

 

 

b

I (y)dy

b

x e yx

2

 

 

 

 

 

e

yx2

 

b

 

e

ax2

e

bx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dy dx

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

0 a

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x

 

a

0

 

 

x

 

e ax2

e bx2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

 

 

 

dx

2

ln

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

1 ln

b

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти сумму S ряда

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

12 3

 

2 34

 

34 5

 

 

 

 

 

Эта задача предлагалась во втором туре олимпиады БПИ 1986 года (задание 7).

186

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности