31.1.Математическая олимпиада БНТУ 2018 года (1 курс)
1.Четыре внука каждые полгода делят копилку, собранную дедом, стремясь поделить на равные части. Иногда это им удаётся, иногда нет. Что происходит чаще? (3 балла)
Решение. Остаток от деления любой суммы на четырёх равен 0, 1, 2 или 3, т.е. в трёх случаях из четырёх разделить поровну нельзя.
Ответ. Чаще нет.
2.Пусть A и B – квадратные матрицы второго порядка. Собственные числа матрицы
A равны 1 и 3. Собственные числа матрицы В равны 2 и 4. Могут ли собственные числа мат-
рицы A + B: 1) быть равными 5 и 6; 2) быть равными 1 и 9. Привести пример или показать, что не могут. (5 баллов)
Решение. Для квадратной матрицы C любого порядка сумма собственных чисел равна следу Sp(C), а произведение – определителю det(C) матрицы. Тогда для данных матриц Sp(A) = 4, Sp(B) = 6, следовательно, Sp(A + B) = 10. Отсюда следует, что числа 5 и 6 не могут быть собственными числами матрицы A + B. Покажем, что числа 1 и 9 могут быть таковыми.
В качестве примера рассмотрим матрицы |
3 |
4 |
и |
2 |
0 |
Для них |
5 |
4 |
A |
|
|
|
B |
|
|
. |
A B |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, значит, Sp(A + B) = 10, det(A + B) = 9, откуда и следует, 1 и 9 – собственные числа матрицы
A + B.
Ответ. 1) нет; 2) да.
x
arctg3 tdt
3. Вычислить предел lim |
0 |
|
|
. |
(7 баллов) |
|
1 |
x2 |
x |
|
|
Эта задача предлагалась на олимпиаде БНТУ 2012 года (задание 1).
4. В треугольнике ABC AB a, AC b . Найти вектор h – высоту этого треугольника, опущенную на сторону BC. (7 баллов)
A
Решение. Так как CB a b , DB
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (a |
|
|
) |
|
|
b |
h |
|
|
|
|
|
|
|
b |
(a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
то h a DB a | a b |2 |
|
|
|
|
|
|
|
a (a |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. a |
|
|
(a |
|
). |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
D |
|
B |
|
|
|
|
| a b |2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (a |
|
|
|
) |
|
|
|
|
Pr |
|
|
|
|
CB |
b |
(a |
|
), |
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CB |
| CB | |
| a b |2 |
|
|
|
|
|
|
|
b ).
5. Дифференцируемая функция f(x) удовлетворяет условию f (x) 1 xf 2 (x) для всех x.
Покажите, что локальный экстремум этой функции является максимумом. (6 баллов)
Решение. Пусть x0 – точка экстремума функции. В ней f (x0 ) 0, но, как следует из условия задачи, f (x0 ) 0. Продифференцировав почленно данное в условии равенство, полу-
чим: f (x) f 2 (x) 2xf (x) f (x). Тогда f (x0 ) f 2 (x0 ) 2x0 f (x0 ) f (x0 ) f 2 (x0 ) 0, что и указывает на то, что x0 – точка максимума данной функции.
6. Вычислить производную f (x) в точке x = 0, если f (x) x(x 1)(x 2) (x 2018).
(4 балла)
Решение. Так как f (x) (x 1)(x 2) (x 2018) x((x 1)(x 2) (x 2018)) , то f (0) ( 1)( 2) ( 2018) 0 ( 1)2018 2018! 2018!
Ответ. 2018!
sin2 |
x |
|
cos2 |
x |
|
|
. (5 баллов) |
7. Показать, что arcsin |
tdt |
arccos |
tdt |
0 |
|
|
0 |
|
|
4 |
|
Эта задача предлагалась на олимпиаде БНТУ 2014 года (задание 4).
31.2.Математическая олимпиада БНТУ 2018 года (2 курс)
1.Четыре внука каждые полгода делят копилку, собранную дедом, стремясь поделить на равные части. Иногда это им удаётся, иногда нет. Что происходит чаще? (3 балла)
Эта задача предлагалась на этой же олимпиаде для студентов 1-го курса (задание 1).
2.Определитель квадратной матрицы A третьего порядка равен 16, сумма элемен-
тов каждого столбца равна 4, сумма элементов главной диагонали 8. Найти собственные числа матрицы A. (4 балла)
Решение. Для матрицы A сумма собственных чисел равна следу Sp(A), а произведение – определителю det(A) матрицы. Таким образом, обозначив собственные числа матрицы через1, 2 , 3 , мы имеем: 1 2 3 8, 1 2 3 16. Далее, в определителе det(A E), где E – единичная матрица, к первой строке добавим сумму двух последних. В результате получим определитель, у которого каждый элемент первой строки равен 4 . Следовательно, матрица
A имеет собственное число |
|
1 |
4. |
Тогда два других удовлетворяют системе уравнений |
2 3 4, 2 3 4. |
Она имеет решение 2 |
3 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. 4; 2; 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex arctg2 x |
dx |
3 |
|
. |
|
(5 баллов) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Показать, что |
1 |
e |
2x |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
Решение. Проведём оценку данного интеграла, учитывая, что arctg |
x |
4 : |
exarctg2 x |
|
|
|
|
2 |
|
|
ex |
|
dx |
|
|
2 |
|
|
d ex |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctge |
|
|
|
|
|
1 e |
|
|
4 |
1 e |
2x |
4 |
1 |
e |
2x |
4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim arctge |
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось проверить.
|
|
|
|
n(n 1) |
|
1 |
1 n |
|
|
|
|
4. Исследовать на сходимость ряд ( 1) |
2 |
|
|
1 |
. |
(10 баллов) |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 n |
|
Решение. Абсолютной сходимости здесь нет, так как ряд |
|
1 |
сравним с рас- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ходящимся рядом |
. Исследуем данный ряд на сходимость. Заметим, прежде всего, что |
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n(n 1) |
( 1)k 1 |
при нечётном n 2k 1, k N и ( 1) |
n(n 1) |
( 1)k |
при чётном n 2k, k N. |
2 |
2 |
Следовательно, любая частичная сумма данного ряда распадается на сумму двух частичных сумм для знакочередующихся рядов
|
k 1 |
1 |
|
1 |
|
2k 1 |
|
k |
1 |
1 2k |
|
( 1) |
|
|
1 |
|
|
|
и ( 1) |
|
|
1 |
|
. |
(1) |
2k 1 |
2k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
2k |
2k |
|
Проверим для них признак Лейбница. Возьмём последовательность |
|
|
1 |
|
1 n |
an |
|
|
1 |
, n N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
Для неё lim an |
elim |
1 |
0. Рассмотрим функцию |
|
1 |
|
|
1 |
x |
, x 1. Её производ- |
|
f (x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
n n |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
ная равна f x |
|
1 |
|
1 |
x |
|
|
1 |
) |
|
1 |
|
|
ln 1 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. Поскольку ln 1 |
|
|
|
при x > 1, то |
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 x |
|
x |
|
f |
x |
) 0, |
x |
1 и, |
ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
1. Таким образом, |
|
|
x |
|
1 x |
|
2x x |
|
1 x |
|
2x |
|
2x(1 |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
значит, последовательность an убывающая. Оба условия признака Лейбница для каждого из рядов (1) выполняются, они сходятся, следовательно, сходится также и данный ряд. Его схо-
димость – условная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. Сходится условно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти уравнение кривой, если известно, что площадь S, ограниченная кривой, осью |
абсцисс, прямыми x 1, |
x x (x 1), |
равна |
S |
xy x2 |
1 |
. |
(8 баллов) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. При x = 1 из выражения для площади следует, что y = 0. Далее, поскольку |
|
x |
|
|
|
x |
|
xy x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S ydt, |
то |
ydt |
|
|
|
|
|
|
. Продифференцировав почленно это уравнение, мы получим: |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
y |
2 |
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
. Отсюда, |
y |
2 |
x |
|
Cx |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условие y(1) = 0, найдём C = 1. Окончательно, y 2xln x. |
|
|
|
|
|
Ответ. y 2xln x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Функция (x) дифференцируема и (x) 0. Пусть a и b, a < b – точки экстремума |
решения дифференциального уравнения (x)y y 0. |
Показать, что | y(a) | | y(b) |. |
(7 баллов) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Для решения y = 0 неравенство не выполняется. Пусть y = y(x) – нетривиальное решение данного уравнения. Умножим обе его части на y и затем проинтегрируем почленно по отрезку [a, b]:
|
|
b (x)y (x)y (x)dx b y(x)y (x)dx 0. |
|
|
|
(1) |
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя по частям первый интеграл, получим, учитывая условие задачи: |
b |
|
1 b |
2 |
1 |
2 |
|
b |
|
b |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(x)y (x)y (x)dx |
|
(x)d (y (x)) |
|
|
|
a |
|
|
(y (x)) |
|
|
|
|
(x)(y (x)) |
|
|
|
|
|
d(x) |
a |
|
2 a |
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
b |
|
|
|
(y (a))2 ) |
|
|
|
|
|
|
(y (x))2 (x)dx. |
|
(x)((y (b))2 |
|
(y (x))2 d(x) |
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
2 a |
|
Второй интеграл в (1) равен b |
|
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x)y (x)dx |
(y(x))2 |
. Значит, |
|
|
|
1 |
a |
|
1 |
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b (y (x))2 (x)dx |
(y(x))2 |
|
b |
0 (y(x))2 |
|
ba |
b (y (x))2 (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a |
|
2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, так как b (y (x))2 (x)dx 0, мы получаем:
a
(y(x))2 b 0 (y(b))2 (y(a))2 0 | y(a) | | y(b) |.
a
7. Определить математическое ожидание случайной величины X со следующей табли-
цей распределения:
|
xk |
|
1 |
|
2 |
3 |
. . . |
k |
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pk |
|
p |
|
pq |
pq2 |
. . . |
pqk 1 |
. . . |
|
|
В таблице p 0, q 1 p. |
(4 балла) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Искомое математическое ожидание равно |
M (X ) kpqk 1 |
p kqk 1. Про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суммируем ряд kxk 1,| x | 1. |
Проинтегрируем его по отрезку [0, x] и воспользуемся суммой |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ряда геометрической прогрессии: ktk 1dt |
xk |
1. Отсюда, |
после почленного |
|
1 x |
|
|
0 |
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
p |
|
|
1 |
|
|
дифференцирования находим: |
kxk 1 |
|
. Следовательно, M (X ) |
|
|
. |
|
(1 x) |
2 |
(1 q) |
2 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
Ответ. 1/p.
168
