30. Математическая олимпиада БНТУ 2017 года

(ответом должен быть многочлен переменных p и q).

Решение. Обозначим определитель через . С помощью последней строки обнулим элементы последнего столбца, затем разложим полученный определитель по четвёртому столбцу и, наконец, разложим найденный определитель третьего порядка по второму столбцу:

((1 )2 ( 2 )( 2 )) ( 3 3 ( )2 (1 )2 )

(( )(( )2 3 ) 3 1).

Тогда, учитывая, что по формулам Виета p, q, мы получаем:q( p( p2 3q) 3q 1) q( p3 3pq 3q 1).

Ответ. q( p3 3pq 3q 1).

2. Составить уравнение касательной к графику нечётной функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 1, если известно, что для всех действительных x справедливо равенство f (3x3 2x) 5x2 f (x2 x 1) 4x5 7x7 5x 4.

Решение. При x 1 из данного равенства с учётом нечётности функции следует, что f (1) 5 f ( 1) 4 f (1) 5 f (1) 4 f (1) 23. Для дальнейших рассуждений нам пона-

добится следующее утверждение: производная нечётной функции является чётной функцией.

Для его проверки продифференцируем обе части равенства f ( x) f (x):

( f ( x)) f (x) f ( x)( x) f (x) f ( x) f (x),

в чём и требовалось убедиться. Продифференцируем теперь обе части данного в условии задачи равенства:

f(3x3 2x)(3x3 2x) 5(2xf (x2 x 1) x2 f (x2 x 1)(x2 x 1) ) 20x4 49x6 5

f (3x3 2x)(9x2 2) 5(2xf (x2 x 1) x2 f (x2 x 1)(2x 1)) 20x4 49x6 5.

160

Отсюда при x = 1 получаем: 7 f (1) 5(2 f ( 1) f ( 1)) 34 7 f (1) 10 f (1) 5 f (1) 34.

Ответ. 41x 3y 39 0.

dx

3. Найти неопределённый интеграл sin x sin 2x sin 3x .

Решение. Обозначим интеграл через I. Так как

sin x sin 2x sin3x 2sin xcosx(2cosx 1),

простейшие дроби. Её знаменатель, который мы обозначим через f(z), имеет простые корни

4. Изобразите множество точек (x, y) на плоскости Oxy (в зависимости от пара-

метра m ≥ 0), координаты которых удовлетворяют уравнению

Решение. Так как

то левая часть данного уравнения равна сумме расстояний от точки (x, y) до точек O(0, 0) и A(5, 12) и, следовательно, множество точек (x, y) при m > 0 представляет собой эллипс с фокусами в указанных точках. При m = 0 – отрезок, соединяющий эти точки.

Ответ. Отрезок, соединяющий точки O(0, 0) и A(5, 12) и множество эллипсов с фокусами в этих точках.

5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение (y xy2 ln x)dx xdy 0.

Решение. Это уравнение можно переписать в виде y xy2 ln x xy 0 и интегрировать как уравнение Бернулли. Приведём здесь более быстрое решение, преобразовав данное дифференциальное уравнение к уравнению в полных дифференциалах. Очевидно, y = 0 – решение

162

Решение. Воспользовавшись рядом для экспоненциальной функции, получим:

и, значит, исходное неравенство равносильно системе из двух неравенств: 4x2 e2 , x 0. Её

решения заполняют промежуток 0, e .

2

Ответ. 0, e .

2

163