Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 353 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3. Математическая олимпиада БПИ 1982 года (I тур)

1. Определить и построить геометрическое место вершин параболы

y x2

x 1 4m2

, где m R.

1 m2

(1 m2 )2

Решение. Поскольку

2m 2

1 m4

то вершина параболы находится в

(1 m2 )2

1 m2

точке с координатами x

1 m4

Так как

1 m2

(1 m2 )2

1 m4

(1 m2 )2

2m2

(1 m2 )2

1 m2

то вершины находятся в точках параболы y 1 1 x2.

Найдём промежуток значений коорди-

1 m2

наты x вершины. Дифференцируя x по параметру m, получим:

2 (1 m2 )2 . Критическими

точками здесь являются числа m 1,

причём

x 0, m ( , 1); x 0, m ( 1, 1); x 0, m (1, ).

Значит, m 1 – точка минимума функции x и xmin x( 1) 1, m 1 – точка максимума и

xmax x(1) 1.

Значит, искомым геометрическим местом вершин данной параболы является

дуга параболы

y 1 1 x2

x [ 1, 1].

Ответ.

y 1 1 x2

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

1.0

0.5

1.0

2. Найдите матрицу X, если:
1 1			1	1	1	1 2			3	n 1		n
	0	1	1	1			0	1	2	n 2		n 1
	0	1	1	1	1		0	1	2	n 2		n 1
	0	0	1	1	1		0	0	1	n 3		n 2
					X						.	.	.
. . . . .					.	. . . .					.	.
	0	0	0	1	1		0	0	0	1		2

	0	0	0	0			0	0	0	0		1
	0	0	0	0	1		0	0	0	0		1

Решение. Обозначим известную матрицу в левой части уравнения через A, а в правой – через B. Обе они невырожденные, так как det A det B 1. Непосредственно проверяется,

что A2 B. Отсюда,					A A 1B. Следовательно,													X A 1B A.
	1			1	1	1				1
		0		1	1	1
		0		1	1	1				1
		0		0	1	1				1
Ответ.											.
	. . . . .										.
		0		0	0	1				1

		0		0	0	0
		0		0	0	0				1
3. С помощью определённого интеграла найти предел следующей суммы:
									1								2			(n 1)
							lim				sin			sin				sin						.
							lim				sin			sin				sin						.
							n n						n				n				n
							1								2				(n 1)
Решение. Сумма In								sin				sin				sin						является интегральной для
Решение. Сумма In								sin				sin				sin						является интегральной для
							n				n				n				n
определённого интеграла функции sin x на отрезке [0, 1]. Следовательно,
													1								1	2
													1								1
								lim In				sin x dx 1 cos x											.
								lim In				sin x dx 1 cos x											.
								n					0								0
Ответ.	2		.										0								0
	2

										где a R.
4. Вычислить lim cost dt,										где a R.
					ax
				x 0		t
					x

Решение. Прежде всего заметим, что a > 0, так как иначе отрезок интегрирования содер-

x cost

жал бы нуль, а интеграл dt расходящийся. Обозначим искомый предел через L. Выпол-

0 t

ним в интеграле замену переменной t / x = z. Тогда cost dt cos(xz) dz				и
ax		a
x	t	1	z
x		1
16

L lim	a	cos(xz) dz a lim cos(xz) dz a				1 dz ln z	1a ln a.

x 0	1	z	1 x 0	z	1	z

Ответ. ln a.

5. Где могут лежать точки перегиба графиков решений дифференциального уравнения y g(x)y 0 (g(x) – дифференцируемая в некотором интервале функция) ?

Решение. Дифференцируя обе части данного уравнения, получим: y g (x)y g(x)y 0

или, учитывая, что y g(x)y, мы находим:

y (g (x) g2 (x))y 0.

Отсюда следует, что, если M 0 (x0 , y0 ) – точка перегиба графика ненулевого решения y y(x)

данного дифференциального уравнения, то y (x0 ) 0 и g (x0 ) g 2 (x0 ) 0.

Ответ. Абсциссы точек перегиба графиков решений данного дифференциального уравнения являются корнями уравнения g (x) g2 (x) 0.

6. Если один кирпич уложен на другой, то максимальное расстояние, на которое можно сдвинуть верхний кирпич, так, чтобы он не упал с нижнего, будет достигнуто, когда центр тяжести верхнего кирпича будет проектироваться на боковую грань нижнего кирпича. Ко-

гда мы поместим два кирпича на третий, то максимальный сдвиг будет достигнут в тот момент, когда их общий центр тяжести будет проектироваться на боковую грань нижнего кирпича. Продолжая укладывать кирпичи с максимально возможным сдвигом, мы получаем искривлённую колонну. На сколько левую грань верхнего кирпича можно сдвинуть относи-

тельно левой грани нижнего кирпича?

Решение. Пусть 2l – длина кирпича и на нижнем кирпиче лежат n кирпичей с максимально возможным сдвигом. Обозначим через xn расстояние от центра тяжести всех (n 1)

кирпичей до левой грани нижнего кирпича, а через sn расстояние от левой грани верхнего кирпича до левой грани нижнего кирпича.

	Рис . 1				Рис . 2					Рис . 3

											1
						1					1
		1								2
		1			2					2
					2				3
	2
				3
				3				4
O			O
O			O				O
							O

При n 1

(рис. 1), очевидно, x

l 2l

3l , s l.

Значит, поставив эти два кирпича на тре-

тий, мы можем

сдвинуть их

вправо относительно третьего на

максимальную величину

l 2 x1

2l x1

(рис.

2). Следовательно, x2

, s2 s1

l 1

. Аналогично,

если мы поставим эту конструкцию из трёх кирпичей на четвёртый, то мы можем сдвинуть её относительно четвёртого максимум на 2l x2 3l (рис. 3). Поэтому здесь

l 3 x2

, s3

l 1

Продолжая аналогично, мы после n шагов получим:

1	1
2	3	.

	(2n 1)l			1	1	1
xn		, sn	l 1	2	3		.
	n 1					n

В скобках записана частичная сумма гармонического ряда. Он расходится, следовательно,

lim sn .

Ответ. Для n кирпичей искомый сдвиг равен		1	1	1		где l – длина полкир-
	l 1	2	3		,
				n

пича. Этот сдвиг может быть неограниченно большим.

7. Тонкая пластинка имеет форму кругового кольца с радиусами R1 и R2 (R1 R2 ). Удель-

ная теплоёмкость пластинки меняется по закону c | xy |, плотность постоянна и равна .

Найти количество теплоты Q, полученное пластинкой при её нагревании от температуры

t1 до температуры t2 .
Решение.	Обозначим кольцо через D. Разобьём		его на большое число частей
D1, D2 , , Dn	с малыми диаметрами d1, d2 , , dn	и	площадями S1, S2 , , Sn , соот-

ветственно. Внутри каждой из частей выберем произвольно по точке M k (xk , yk ) Dk , k 1, n.

Пусть Qk	– количество теплоты, полученное частью Dk . Тогда Qk \| xk yk \| Sk (t2 t1) и,
значит,
	n	n
	Q Qk	(t2 t1) \| xk yk	\| Sk .
	k 1	k 1

Следовательно,

			n			t1) \| xy \| dS.
	Q (t2	t1) lim	\| xk yk	\| Sk	(t2	t1) \| xy \| dS.
		dk 0,	k 1			D
		k 1,n
Пусть D	–часть кольца в первой четверти. Тогда \| xy \| dS 4 xy dS. Переходя в двойном
				D		D

интеграле к полярным координатам, получим:


	2	R2							2			R2
xy dS d r cos				r sin r dr sin cos d r									3 dr
D	0	R1							0			R1
			r4		R2	sin2		R4	R4	1
	2				R2		2
	2						2
	sin d sin							2	1		(R24	R14 ).
	sin d sin		4			2			4	8	(R24	R14 ).
	0		4		R1	2	0		4	8
	0				R1		0

Тогда Q 12 (t2 t1)(R24 R14 ).

Ответ. 12 (t2 t1)(R24 R14 ).

8. Составить блок-схему и написать программу вычисления интеграла e x2 dx мето-

дом трапеций.

Решение. Приведём формулу трапеций для вычисления определённого интеграла

b f (x)dx.

Разобьём отрезок [a, b] на n равных частей точками				xk a kh,
разбиения. Тогда
b		1		n 1
f (x)dx In		1	( f (a) f	n 1
f (x)dx In	h	2	( f (a) f	(b) f (xk
a		2		k 1

k 0, n, где h b n a – шаг

Для оценки погрешности при заданной точности 0 можно использовать правило Рунге, которое заключается в следующем. Вычисляем по формуле трапеций In , затем уменьшаем шаг в два раза и вычисляем I2n . Требуемая точность считается достигнутой, если окажется,

что \| In I2n \| 3 и в этом случае полагаем b	f (x)dx I2n .
a

Программирование метода трапеций не представляет трудностей. Вычисления, проведённые в среде компьютерной алгебры Mathematica, показывают, что, например, для инте-

грала e x2 dx уже при n 100 достигается точность, меньшая, чем 0,0001.

<<< < Предыдущая 1 23 / 353 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025592.09 Кб0Математические задачи энергетики-1.pdf
#
24.11.2025996.55 Кб0Математические задачи энергетики.pdf
#
28.12.20257.05 Mб0Математические модели в транспортных системах-1.pdf
#
24.11.2025915.91 Кб1Математические модели в транспортных системах.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Математические модели и методы в горном производстве.pdf
#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf