27. Математическая олимпиада БНТУ 2014 года

8 апреля 2014 года

Решение. Обозначим искомый определитель через . Добавив к его первой строке определителя сумму трёх последних и вынеся за знак определителя общий множитель элементов первой строки, получим:

В найденном определителе к первому столбцу добавим второй, вычтем сумму двух последних и вынесем за знак определителя общий множитель элементов первого столбца:

В последнем определителе к третьей и четвёртой строке добавим вторую и разложим полученный определитель по элементам первого столбца:

Наконец, в определителе третьего порядка из второго и третьего столбцов вычтем первый и затем разложим его по элементам первой строки:

Ответ. ((a b)2 (c d)2 )((a b)2 (c d)2 ).

2. Даны координаты двух вершин треугольника A( 4, 1,2),B(2,5, 16). Известно, что середина стороны AC лежит на прямой 2x 0y z 3 1, а середина стороны BC лежит в плос-

кости 3x 4y z 2. Найти площадь треугольника ABC. (10 баллов) 148

Решение. Пусть вершина C имеет координаты C(x0, y0, z0). Середины сторон AC и BC обозначим через D и E, соответственно. Тогда,

щадь равна S 12 | AB AC | 23 52714.

(8 баллов)

Решение. Интегрируя по переменной y обе части первого равенства из условия задачи,

Решение. Так как период функций sin2 x и cos2 x равен π, то достаточно проверить ра-

f(x) arcsin sin2 x (sin2 x) arccos cos2 x (cos2 x)

arcsin(sin x)2sin x cos x arccos(cosx)2cos x( sin x) x sin 2x x sin 2x 0.

6. По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20°C

и тело в течение 20 минут охлаждается со 100°C до 60°C, то через сколько времени его температура понизится до 30°C? (6 баллов)

Решение. Пусть T T (t) температура тела через t минут. Тогда по закону Ньютона T k(T 20), где 0 < k – коэффициент пропорциональности. Это уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его:

150

Начальное условие даёт C = 80. Таким образом, температура в любой момент времени равна

7. Некто нашёл чужую пластиковую карточку для банкомата. Найти вероятность того, что двух попыток окажется достаточным, чтобы угадать неизвестный четырёх-

значный банковский код. Найти среднее число попыток, в результате которых можно найти неизвестный код. (5 баллов)

Решение. Здесь число элементарных исходов равно 104 =10000. По формуле умножения вероятностей код угадывается со второй попытки с вероятностью 100009999 99991 10 4. Рас-

смотрим случайную величину X, равную числу попыток, в результате которых угадывается код. Она может принимать значения 1, 2, …, 10000. Каждое из своих значений k случайная

Ответ. 10 4 ;5000,5.

151