Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

22. Математическая олимпиада БНТУ 2009 года

					22 апреля 2009 года
1. Найдите матрицу X, такую, что:
1 1			1	1	1	1 2			3	n 1		n
	0	1	1	1			0	1	2	n 2		n 1
	0	1	1	1	1		0	1	2	n 2		n 1
	0	0	1	1	1		0	0	1	n 3		n 2
			.	. .	X						.	.	.
. .			.	. .	.	. . . .					.	.
	0	0	0	1	1		0	0	0	1		2

	0	0	0	0			0	0	0	0		1
	0	0	0	0	1		0	0	0	0		1

Эта задача предлагалась в первом туре олимпиады БПИ 1982 года (задание 2).

2. Сколько корней имеет уравнение ex3 cos3x 0 на отрезке [–3, 3] ?

Решение. Очевидно, при x > 0 уравнение корней не имеет.

					y
					1.5
					1.0
			ex3		0.5
5	2				x
5	2	2	3	6	O
6	3	2	3	6
					0.5
			cos3x		1.0
			cos3x
					1.5

На отрезке [ 3, 1] расположены два корня этого уравнения. Покажем, что на отрезке

[ 1,0],			кроме нуля, корней нет. Для этого воспользуемся тем, что при 1 x 0 выполня-
ются неравенства ex3						1 x3 , cos3x 1	9x2	27 x4	. Значит,
ются неравенства ex3						1 x3 , cos3x 1		27 x4	. Значит,
						2		8
ex3 cos3x				x2	(36 8x 27x2 ). Отрицательный корень уравнения 36 8x 27x2 0 равен
ex3 cos3x
			8
x	0	4 2 247			1.	Следовательно, 36 8x 27x2			0 при x x 0 и, стало быть,
	0		27						0
			27

ex3 cos3x 0, 1 x 0, т.е. корней данного уравнения в этом интервале нет.

Ответ. Три корня.

	cos	cos x
3. Найдите lim	2		.
3. Найдите lim	sin(sin x)		.
x 0	sin(sin x)

133

3n 3

то

Решение. Так как cos

cos x sin

(1 cos x) ,

cos cos x

sin

(1 cos x)

2 (1

cos x)

sin

lim

sin(sin x)

x 0

Ответ. 0.

4. Найдите геометрическое место точек, из которых на плоской поверхности вы-

стрел из винтовки и звук разбитого оконного стекла от попавшей в него пули слышны одно-

временно. Расстояние между точкой, из которой произведён выстрел, и окном, в которое попала пуля, равно S.

Эта задача предлагалась в первом туре олимпиады БПИ 1989 года (задание 1).

								2
	5. Докажите, что							sin(x2 )dx 0.
								0
	Эта задача предлагалась в первом туре олимпиады БПИ 1990 года (задание 3).
										1				x
	6. Вычислите интеграл arcsin													x	dx.
	6. Вычислите интеграл arcsin													x 1	dx.
										0				x 1
	Решение. Проведём в интеграле замену переменной arcsin																						x		t. Тогда, учитывая,
	Решение. Проведём в интеграле замену переменной arcsin																						x 1		t. Тогда, учитывая,
																							x 1
что	x tg	2	t, t
что	x tg		t, t		0,		, мы получаем:
							4
	1
	1			x			4		2		2			4		2			4 1
				x					2		2					2			4 1
	arcsin					dx td tg				t t tg		t	04	tg			tdt					1 dt			(tgt t)	04		1.
	arcsin			x 1		dx td tg				t t tg		t	04	tg			tdt	4		2		1 dt		4	(tgt t)	04	2	1.
	0			x 1			0							0				4	0 cos		t			4			2
	Ответ.				1.
			2

x3n

7.Найдите сумму ряда (3n)!.n 1

Решение. Обозначим сумму ряда через y = y(x). Тогда y x 1 y. Таким об-n 1 (3n 3)!

разом, искомая функция является решением задачи Коши для дифференциального уравнения y y 1 с нулевыми начальными условиями в нуле. Это линейное неоднородное дифферен-

134

циальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Корни его характери-

3		1	3
стического уравнения 1 0	равны 1 1, 2,3	2		i, поэтому общее решение соот-
			2

ветствующего однородного уравнения имеет вид: y0 C1 ex e 2

Частным решением этого уравнения является, очевидно, функция

y y

C e

cos

x C

sin

		3		3
	cos		x C3 sin
C2		2		2	x .

~ 1. Тогда y

x 1

– общее решение дифференциального уравнения. Дифференцируя дважды это решение, по-

1 e

лучим:

y C ex e

12 cos 23 x 23 sin

3			3				3				1			3
	x	C			cos				x			sin
2	x	C	2		cos		2		x		2	sin		2
2		3	2				2				2			2

3				3				3				1
	x	C				cos				x			sin
2	x	C		2		cos		2		x		2	sin
2		3		2				2				2

2 x .

При нулевых начальных условиях мы приходим к следующей системе линейных уравнений относительно неизвестных постоянных:

		C			1 0,
C		C			1 0,
	1			2		3
			C2			3				0,
C								C	3
C								C
	1		2			2
			2			2
C			C2			3	C		3	0.
C							C			0.
	1		2			2
			2			2

Она имеет решение C1 13 ,C2 23 ,C3 0. Значит, искомая сумма ряда равна y 13 ex 32 e 2x cos 23 x 1.

Ответ. 13 ex 32 e 2x cos 23 x 1.

8. Света и три её сёстры купили четыре билета на четыре соседних места в театре.

Света и две её сестры пришли в театр раньше и сели случайным образом на какие-то три из этих четырёх мест. Какова вероятность того, что Свете придётся пересесть, когда в театр придёт её сестра Рита, если она настолько “упёртая”, что всегда настаивает и за-

нимает только то место, которое указано в её билете?

135

Решение. В билете Риты с вероятностью ¼ может быть указано любое из четырёх мест. В каждом случае Света занимает место Риты с вероятностью ¼. Следовательно, искомая ве-

роятность равна 4 14 14 14 .

136

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025592.09 Кб0Математические задачи энергетики-1.pdf
#
24.11.2025996.55 Кб0Математические задачи энергетики.pdf
#
28.12.20257.05 Mб0Математические модели в транспортных системах-1.pdf
#
24.11.2025915.91 Кб1Математические модели в транспортных системах.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Математические модели и методы в горном производстве.pdf
#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf

3			3				3				1			3
	x	C			cos				x			sin
2	x	C	2		cos		2		x		2	sin		2
2		3	2				2				2			2

3				3				3				1
	x	C				cos				x			sin
2	x	C		2		cos		2		x		2	sin
2		3		2				2				2

3			3				3				1			3
	x	C			cos				x			sin
2	x	C	2		cos		2		x		2	sin		2
2		3	2				2				2			2

3				3				3				1
	x	C				cos				x			sin
2	x	C		2		cos		2		x		2	sin
2		3		2				2				2

3			3				3				1			3
	x	C			cos				x			sin
2	x	C	2		cos		2		x		2	sin		2
2		3	2				2				2			2

3				3				3				1
	x	C				cos				x			sin
2	x	C		2		cos		2		x		2	sin
2		3		2				2				2