16. Математическая олимпиада БГПА 1995 года (I тур)
1. Доказать, что если P (x), P(x), , P |
(x) – многочлены степени n – 1, имеющие об- |
||
0 |
1 |
n 1 |
|
щий корень, то для любого действительного x
P (x) |
P (x) |
||
0 |
|
1 |
|
P (x) |
P (x) |
||
0 |
|
1 |
|
. |
|
. |
|
P(n 1) |
(x) |
P(n 1) |
(x) |
0 |
|
1 |
|
Pn 1(x)
|
P |
(x) |
|
|
|
n 1 |
|
0. |
(8 баллов) |
. |
. |
|
||
|
|
|
||
P(n 1) (x) |
|
|
||
|
n 1 |
|
|
|
Решение. Многочлены P (x), P(x), , P |
(x) |
являются решениями линейного однород- |
||
0 |
1 |
n 1 |
|
|
ного дифференциального уравнения n-го порядка |
|
|||
|
|
y(n) 0, |
(1) |
|
а определитель, указанный в условии задачи, является вронскианом этих решений. Обозначим его для краткости через W (x). Пусть x0 общий корень многочленов. Поскольку
W (x0 ) 0, то система n линейных однородных алгебраических уравнений с определителем
W (x0 ) имеет ненулевое решение, которое мы обозначим через 0, 1, , n 1. Тогда функция
y(x) P (x) P(x) |
n 1 |
P |
(x) является решением дифференциального уравнения |
|
0 0 |
1 1 |
n 1 |
|
|
(1) с нулевыми начальными условиями y(x0 ) y (x0 ) y(n 1) (x0 ) 0. Отсюда, по теореме существования и единственности решения дифференциального уравнения следует, что
y(x) 0 P (x) P(x) |
n 1 |
P |
(x) 0, x R. Продифференцировав n – 1 раз |
|
0 0 |
1 1 |
n 1 |
|
|
почленно обе части последнего равенства, получим систему n линейных однородных алгебраических уравнений с определителем W (x), имеющую ненулевое решение, что возможно лишь тогда, когда W (x) 0.
2. Найти множество точек плоскости, из которых эллипс виден под прямым углом.
(4 балла)
|
2 |
|
|
2 |
|
Решение. Пусть эллипс имеет уравнение |
X |
|
Y |
|
1 и M (x, y) – точка искомого мно- |
2 |
|
2 |
|||
|
a |
|
b |
|
|
жества. Найдём условие, при котором прямая Y k(X x) y, проходящая через точку M, касается эллипса. Подстановка Y в уравнение эллипса приводит после преобразований к квадратному уравнению: (a2k2 b2 )X 2 2a2k(y kx)X a2 ((y kx)2 b2 ) 0. Критерием касания является равенство нулю дискриминанта этого уравнения. После несложных выкладок
111
мы придём к уравнению: (a2 x2 )k2 2xyk b2 y2 0. Таким образом, угловые коэффициенты k1 и k2 касательных к эллипсу удовлетворяют этому квадратному уравнению и так как они должны быть перпендикулярными, то
k k |
2 |
1 |
b2 y2 |
1 x2 y2 a2 b2. |
|
||||
1 |
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|
Значит, искомым множеством является окружность с центром в начале координат и радиу-
сом 
a2 b2 .
Ответ. Окружность. |
|
|
|
3. Вычислить lim zm , |
где zm |
max(x xm ). |
(6 баллов) |
m |
|
x [0,1] |
|
Эта задача предлагалась в первом туре олимпиады БПИ 1983 года (задание 3).
4. Рациональная домохозяйка желает выполнить минимальную работу при отмывании кастрюли от вскипячённого в ней 1 литра молока. Какого диаметра ей надо взять каст-
рюлю (цилиндрической формы)? Плотность молока приближённо равна плотности воды.
(2 балла)
Решение. Пусть R – радиус дна кастрюли. Тогда литр молока будет находиться в ка-
стрюле на высоте |
|
H |
|
1 |
. Значит, суммарная площадь S стенок и дна кастрюли равна |
||||||||||||||||
|
R2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 2 RH R2 |
2 |
R2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
2 |
|
|
R |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
S |
|
|
|
||
Так как |
|
|
|
|
|
|
2 |
, то R |
|
|
– критическая точка функции |
|
, которая является точкой |
||||||||
|
R |
2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
её минимума. Следовательно, искомый диаметр кастрюли равен |
|
2 |
|
|
(дм). |
||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. |
|
2 |
|
|
(дм). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Функция f (x) непрерывна на отрезке [0, 1]. Известно, что f (sin x)dx a. Вычис- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лить xf (sin x)dx. |
(4 балла) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Проведём в искомом интеграле замену переменной x = π – t. В результате получим:
112
0
xf (sin x)dx ( t) f (sin t)dt f (sin t)dt tf (sin t)dt
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
a . |
|
|
|
a tf (sin t)dt xf (sin x)dx |
||
|
|
|
0 |
0 |
2 |
Ответ. |
a |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( 1)n
6.Найти сумму ряда n 0 (2n 1)3n . (6 баллов)
Решение. Воспользуемся разложением функции arctg x в ряд Маклорена:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 x2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
arctg x |
|
|
|
|
|
|
, x [ 1,1]. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(2n 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
1 |
|
1 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( 1) |
n |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 arctg |
1 1 |
. |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
(2n 1)3 |
|
3 n 1 |
|
(2n 1) |
|
|
3 |
|
3 |
|
6 3 |
|
|||||||
Ответ. 1 6 3 .
7. Найти все решения системы уравнений:
|
(y )2 |
xy |
|
|
y |
|
x |
|
, |
|
|
|||
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
x y xy 1, |
|
|
||
где x, y – функции от t. (3 балла)
Решение. Умножим обе части первого уравнения на y и перепишем эту систему диффе-
ренциальных уравнений в виде: (yy ) (xy) ,(xy) 1.
Тогда из первого уравнения yy t C |
2 |
y2 (t C |
)2 C , а из второго – |
xy t C . Сле- |
||
|
|
2 |
3 |
1 |
||
довательно, данная система дифференциальных уравнений имеет решения |
|
|||||
x |
t C1 |
, y (t C2 )2 C3 . |
|
|||
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
8. Шарик катится вниз из вершины A вдоль нарисованных линий. Попадая в узел, он с веро-
ятностью p поворачивает направо и с вероятностью q поворачивает налево (p + q =1). Найти вероятность того, что шарик попадёт в k-ый узел основания. (5 баллов)
113
A |
Решение. Пронумеруем узлы по горизонтальным |
|
|
|
слоям. Вершина A – 0-ой слой, ниже её – 1-ый слой |
|
и т.д., основание – N-ый слой. Для n-го слоя узлы |
|
пронумеруем слева направо: (n, 0), (n – 1, 1), …, |
|
(n – k, k), …, (0, n). Обозначим вероятность того, |
0 |
1 |
. |
. |
. |
. |
N что шарик находится в узле (n – k, k) через |
|
P(n k,k). Несложно проверить, использовав формулу полной вероятности, что для 1-го |
|
||||||
слоя P(1,0) q, P(0,1) p, |
для второго – P(2,0) q2, P(1,1) 2pq, P(0,2) p2, для третьего |
||||||
– P(3,0) q3, P(2,1) 3pq2, P(1,2) 3p2q, P(0,3) p3. Проверим по индукции гипотезу о |
|
||||||
том, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(n k, k) Cnk pk qn k . |
(1) |
В самом деле, если это верно, то, учитывая, что во внутренний узел (n + 1 – k, k) шарик с вероятностью p попадает из узла (n + 1 – k, k – 1) и с вероятностью q из узла (n – k, k), мы по формуле полной вероятности получаем:
P(n 1 k, k ) P(n 1 k, k 1) p P(n k, k )q Cnk 1 pk qn k 1 Cnk pk qn k 1 (Cnk 1 Cnk ) pk qn k 1.
Отсюда, так как Cnk 1 Cnk Cnk 1, мы находим P(n 1 k, k ) Cnk 1 pk qn k 1. Таким образом, формула (1) верна и для (n + 1)-го слоя. В частности, для последнего слоя
P(N k, k ) CNk pk qN k .
Ответ. CNk pk q N k .
114