2.Математическая олимпиада БПИ 1981 года

1.Отрезок длины 2a движется так, что концы его всё время остаются на координат-

ных осях. Найти уравнение множества точек оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на этот отрезок.

Решение.

Найдём уравнение линии в полярных координатах. Обозначим длину отрезка BC через z. Тогда

6. Доказать, что ! n n . n e

Решение. Воспользуемся разложением экспоненциальной функции в ряд Маклорена:

en 1 n n2 nn .

1! 2! n!

7. Найти решение уравнения (1 x3 )y 6x2 y 6xy 0 в виде степенного ряда, если y(0) 1, y (0) 0.

Решение. Учитывая начальные условия, решение данного уравнения будем искать в

виде:

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях x приводит к равенствам:

x0 : 21a2 0 a2 0;

x : 3 2a3 6 0 a3 1;

xn 2 : n(n 1)an n(n 1)an 3 an an 3 , n 4.

Отсюда следует, что a3n 2 a3n 1 0, a3n 1, n 1. Значит, искомое решение представляется степенным рядом

13

8. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключённая между осью абсцисс,

кривой и двумя ординатами, одна из которых – постоянная, а другая – переменная, равна

отношению куба переменной ординаты к соответствующей абсциссе.

Решение. Пусть y y(x)– уравнение искомой кривой. Тогда по условию

Дифференцируя почленно это равенство, получим:

Последнее дифференциальное уравнение является линейным относительно функции y2. Его

14