Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3519 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

14.Математическая олимпиада БГПА 1993 года (I тур)

1.Пусть J n – квадратная матрица порядка n, все элементы которой равны 1. Дока-

жите, что (E Jn ) 1 E 1 Jn , где E – единичная матрица порядка n. (4 балла) n 1

Эта задача предлагалась в первом туре олимпиады БПИ 1989 года (задание 2).

2. Из точки A, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра некоторой окруж-

ности, по желобам, установленным вдоль различных хорд этой окружности, одновременно начинают скользить грузы. Через какое время грузы достигнут окружности? Как это время зависит от угла наклона хорды к вертикали? (6 баллов)

Решение. Пусть жёлоб составляет с вертикальным диаметром, равным D, угол и в момент времени t груз находится на расстоянии x x(t) от точки A. На груз действуют две силы: ортогональная составляющая силы тяжести, равная mg cos и сила трения с коэффициентом , равная mg sin . Составим уравнение движения груза, воспользовавшись вторым законом Ньютона:

ma mg cos mg sin x(t) g(cos sin ).

Поскольку x(0) x (0) 0, то решением полученного уравнения является функция

x(t) 12 g(cos sin )t 2 . Так как длина жёлоба равна D cos , то груз достигнет окружно-

сти в момент времени, когда 12 g(cos sin )t 2 D cos . Отсюда находим искомое время:

t	2D
		.
	g(1 tg )

Из этой формулы, в частности, следует, что при отсутствии трения ( 0 ), время движения груза по жёлобу не зависит от угла наклона.

Ответ.	2D
		.
	g(1 tg )

3. Разложить функцию	f (x)		1		в ряд по степеням x.

			(1 x)(1 x2 )(1 x4 )(1 x8 )
(5 баллов)
		1 x
Решение. Так как f (x)			, то f (x) (1 x) (x16 )n	(x16n x16n 1 ). Разложение
		16
	1 x		n 0		n 0

справедливо в интервале (–1, 1).

102

Ответ. (x16n x16n 1),

x ( 1,1).

n 0

2x2

4. Вычислить предел lim

(1 sin 3t)t

dt. (4 балла)

x sin x

x 0

sin 3t

Решение. Так как lim(1 sin 3t)t

(1 ) lim

(1 sin 3t)

sin 3t

e3, то подынтеграль-

ная функция ограничена вблизи нуля и, значит, lim	2x2	1
	(1 sin 3t)t
x 0	0

dt 0. Применяя правило

Лопиталя и теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом, получим:

							2x 2	1
	1	2x 2			1			(1 sin 3t)t	dt	0
lim	1	0	(1	sin 3t)	t	dt lim	0			0

	x sin x							x2		0
x 0	x sin x					x 0		x2		0

(1 sin 3t)

2 2x 2

lim

(1 sin 6x )

(2x )

(x2 )

x 0

Ответ. 2e3 .

5. Три шахматиста участвуют в круговом турнире по следующей схеме: сначала иг-

рают A и B, затем победитель играет с C, новый победитель играет с побеждённым в предыдущей партии и т.д. Турнир считается законченным, когда кто-либо победит два раза подряд. а) Какова вероятность победы каждого из шахматистов, если их мастерство одинаково? б) Какова вероятность победы каждого из участников, если первую партию вы-

играл A?

Решение. Пусть очередную партию будут играть шахматисты I и II, причём предыдущую партию выиграл I у шахматиста III. Вероятности выигрыша турнира этими шахматистами мы обозначим через P(I), P(II), P(III), соответственно. Если игрок I выигрывает у II, то он выигрывает турнир, если проигрывает, то становится игроком III и, значит, выигрывает турнир с вероятностью P(III). Следовательно, по формуле полной вероятности

P(I) 12 12 P(III). Если игрок II выигрывает у I, то он становится игроком I и по теореме умножения вероятностей P(II) 12 P(I). Кроме того, P(I) P(II) P(III) 1. Таким образом,

мы получили систему линейных уравнений

103

P(I) 12 12 P(III),

P(II) 12 P(I),

P(I) P(II) P(III) 1,

решением которой являются вероятности P(I) 74 , P(II) 72 , P(III) 17 .

а) Победитель первой партии турнира становится игроком I, побеждённый – игроком III, шахматист C – игроком II. Следовательно, по формуле полной вероятности

P(A) P(B)						1 P(I) 1 P(III)				5	, P(C) P(II)		2 .
P(A) P(B)						1 P(I) 1 P(III)					, P(C) P(II)		2 .
						2	2		14				7
б) В этом случае A – игрок I, B – игрок III, C – игрок II. Значит,
				P(A)			4 , P(B) 1 , P(C) 2 .
							7		7		7
Ответ. а) P(A) P(B)				5	,	P(C) 2 ;			б) P(A)		4 , P(B)	1 , P(C)		2 .
Ответ. а) P(A) P(B)					,	P(C) 2 ;			б) P(A)		4 , P(B)	1 , P(C)		2 .
			14				7				7	7		7
1	x ln(x	2	x) ln(x 1)
6. Вычислить	x ln(x		x) ln(x 1)					dx.	(4 балла)
6. Вычислить								dx.	(4 балла)
0			x(x 1)

Решение. Преобразуем интеграл и воспользуемся методом интегрирования по частям:

x ln(x

ln x

x) ln(x 1)

dx ln(x 1) dx

x 1

x(x 1)

ln x

ln(x 1)d ln x

dx ln(x 1)ln x

x 1

(ln

0 lim ln(x 1)ln x lim x ln x (0

) lim

lim

)

lim x 0.

x 1

x 0

Ответ. 0.

7. Ряд an (an

сходится. Доказать, что сходится ряд

(5 баллов)

n 1

Решение. Оценим сверху частичную сумму последнего ряда, использовав неравенство

Коши-Буняковского:

n 1

k 1

k 1 k

k 1

104

		1		n	ak
Так как ряды an	и			сходятся, то		an
		n	2		k
n 1	n 1			k 1		n 1

	1
		. Таким образом, последова-
	2
n 1	n

	an
тельность частичных сумм ряда		возрастает и ограничена. Следовательно, она имеет
	n
n 1

конечный предел, т.е. этот ряд сходится.

	8. Доказать, что при																									0,6 0 не имеет корней. (6 баллов)
	8. Доказать, что при					x 0,					2	уравнение x cosx														0,6 0 не имеет корней. (6 баллов)
											2
	Решение. Из разложения функции cosx в ряд Маклорена следует, что при
																																		x 0,
																																			2
выполняется неравенство cos x 1												x2						x4		. Следовательно, при тех же x
выполняется неравенство cos x 1																				. Следовательно, при тех же x
												2						24
												x cos x x										x3		x5	.										(1)
												x cos x x													.										(1)
																					2		24
		f		x			x		x3					x5												f	x			3x2		5x4
Рассмотрим функцию		f	(	x	)		x		2 24 . Её производная																	f	x	)	1 2			24	в интервале
Рассмотрим функцию			(		)				2 24 . Её производная																	(		)	1 2			24	в интервале
0,	имеет единственный нуль										x						2 9				51 , который является точкой максимума
											0					5
	2															5
функции f (x). Так как f (x ) x													x2						x4				0,87; 1				x2			x4	2	1	51 0,66, то
									1				0						0		и x							0		0
													0						0

					0			0				2									0						2		24		25
												2							24								2		24		25
f (x0 ) 0,87 0,66 0,5742 0,6. Тогда из неравенства (1)
f (x0 ) 0,87 0,66 0,5742 0,6. Тогда из неравенства (1)																										следует, что при x 0,
																																		2
		x cos x x								x3					x5				f (x ) 0,6 x cos x 0,6 0
		x cos x x																	f (x ) 0,6 x cos x 0,6 0
											2	24									0
											2	24

и, таким образом, уравнение x cosx 0,6 0 не имеет корней в указанном интервале.

105

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3519 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025592.09 Кб0Математические задачи энергетики-1.pdf
#
24.11.2025996.55 Кб0Математические задачи энергетики.pdf
#
28.12.20257.05 Mб0Математические модели в транспортных системах-1.pdf
#
24.11.2025915.91 Кб1Математические модели в транспортных системах.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Математические модели и методы в горном производстве.pdf
#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf