Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

13.2.Математическая олимпиада БГПА 1992 года (II тур)

1.Исследовать на экстремум в точке x = 1 функцию det A(x), равную определителю

матрицы

	1	1		1	1			1	1
	1	x	2	1	x		3	1	x	n
	2	x		3	x				x
	2	2		3		2		n				2
A(x)	1			2				(n 1)
	13			23				(n 1)3


	n 2			2	n 2			(n 1)			n 2
	1			2				(n 1)

, n 3. (7 баллов)

Решение. Пусть (x) det A(x). Производная определителя равна

			1	1		1
			1	1		1
			x	x2		xn 1
			2	2			2
(x)			13	23		(n 1)	3
			1	2		(n 1)

			1n 2	2n 2 (n 1)n 2
и, значит,
	1			1		1
	1			1		1
	1			1		1
	2			2		2
(1)	13			23		(n 1)3	0,
	1			2		(n 1)

	1n 2			2n 2	(n 1)n 2
т.е. x = 1 – критическая точка этой функции. Далее, так как
		1		1		1
		1		1		1
		1		2x	(n 1)xn 2
		2		2			2
(x)		13		23		(n 1)	3	,
		1		2		(n 1)

		1n 2		2n 2		(n 1)n 2

то

	1	1	1
	1	1	1
	1	2	n 1
	2	2		2
(1)	13	23	(n 1)	3	.
	1	2	(n 1)

	1n 2	2n 2	(n 1)n 2

Вычислим этот определитель. Сначала последовательно вычтем из каждой его строки предыдущую, начиная с последней, затем разложим получившийся определитель по первому столбцу и, наконец, после этого вынесем из каждого столбца полученного определителя, начиная со второго, общие множители. В результате получим:

		1	1	1
		1	1	1
		2	3	n 1
(1)	(n 2)!	22	32	(n 1)	2	.
(1)	(n 2)!					.

		2n 4	3n 4	(n 1)n 4
		2n 3	3n 3	(n 1)n 3

Далее аналогично, в определителе в правой части этого равенства последовательно вычтем из каждой его строки, начиная с последней, предыдущую, умноженную на два, разложим полученный таким образом определитель по первому столбцу и затем вынесем общие множители из столбцов найденного определителя, начиная со второго. В итоге получим:

		1	1	1
		1	1	1
		3	4	n 1
(1)	(n 2)!(n 3)!	32	42	(n 1)	2	.
(1)	(n 2)!(n 3)!					.

		3n 5	4n 5	(n 1)n 5
		2n 4	4n 4	(n 1)n 4

Продолжая этот процесс, мы придём к равенству:

(1) (n 2)!(n 3)!	1	1	1! 2! (n 3)! (n 2)!.
(1) (n 2)!(n 3)!	1	1	1! 2! (n 3)! (n 2)!.
	n 2	n 1

Таким образом, (1) 0 и, значит, x = 1 – точка локального минимума данной функции. Ответ. В точке x = 1 – локальный минимум.

2. Найти множество точек M внутри данного квадрата на плоскости, для которых существует окружность с центром M, пересекающая стороны квадрата в восьми точках.

(7 баллов)

Решение. Начало прямоугольной системы координат Oxy выберем в центре квадрата, а оси направим параллельно сторонам. Длину стороны квадрата обозначим через 2a. Обозначим множество из условия задачи через D. Это множество симметрично относительно координатных осей, поэтому достаточно построить его в первой координатной четверти. Пусть M (x, y)

– точка множества D, расположенная в первой координатной четверти, а R – радиус окружности с центром в точке M. Чтобы эта окружность пересекала стороны квадрата в восьми точках, необходимо и достаточно, чтобы, с одной стороны, радиус R был меньше расстояний от точки M до всех вершин, а с другой – был больше расстояний от точки M до всех сторон квадрата. Для точки в первой четверти это равносильно тому, что

R (M , A ) (x a)2						(y a)2 ,
			1

R (M , A2 A3 ) x a,
R (M , A A ) y a.
			3 4

Отсюда следует, что
x a (x a)2			(y a)2 ,			4ax (y a)2 ,

							(x	a)2.
y a (x a)		2	(y a)	2		4ay	(x	a)2.
y a (x a)			(y a)

Таким образом, в первой четверти множеству D принадлежат точки, расположенные ниже па-
рабол с уравнениями 4ax (y a)2	и 4ay (x a)2.
Ответ.
			y
			a
			a 4
a			a 4 O		a 4	a	x
a			a 4 O		a 4	a
			a 4
			a
3. Найти все дифференцируемые функции, удовлетворяющие тождеству

x y f

для любых x, y R, x y. (7 баллов)

f (y) f (x) , y x

Решение. Полагая x1

x y

, y1

y x

получим

f (x1)

f (x1 y1) f (x1

y1)

, или в

2y1

старых обозначениях,

)

f (x y) f (x y)

Отсюда сразу же следует, что функ-

(

ция

f (x) бесконечно дифференцируема на всей числовой оси. Перепишем это равенство в

виде

(

)

(

)

(

)

и продифференцируем его почленно три раза по перемен-

ной y:

f x

)

), 0

)

), 0

)

( )

(

Из последнего равенства в пределе при

мы получаем

(

) 0

при всех действитель-

ных x. Следовательно,

f (x) C x2 C x C ,

где C ,C ,C – произвольные действительные

числа. Прямая проверка показывает, что эта функция удовлетворяет тождеству в условии задачи.

Ответ.	f (x) C x2	C x C		, где C ,C				,C R.
	1	1	2			1	2	3
			1	x	n
4. Вычислить интеграл In				x			dx, где n – целое неотрицательное число.
4. Вычислить интеграл In				1 x		2	dx, где n – целое неотрицательное число.
			0	1 x

(6 баллов)

Решение. Проведём в интеграле замену переменной по формуле x sin y. Тогда

In 2 sin n y dy. Интегрируя здесь по частям, получим:


	2			2			2
In	sin n 1 y d cos y sin n 1	y cos y	02 cos y d sin n 1			y (n 1) sin n 2 y cos2		y dy
2	0			0			0


	2			2	2		(n 1)(In 2	In ).
	(n 1) sin n 2 y(1 sin 2 y)dy	(n 1)		sin n 2	y dy sin n y dy		(n 1)(In 2	In ).
	0			0	0

Отсюда мы находим:

n 1

n 2

. Следовательно, при чётном n:

n 1

n 3

1 I

n 2

n 1

n 3

и поскольку I0 2

, то In

. Если же n нечётно, то

n 2

n 1

n 3

2 I

n 2

n 1

n 3

2 .

и, так как I1 2

sin y dy 1, то In

n 2

n 1

n 3

2 , n чётное;

n 2

Ответ. In

n 3

, n

нечётное.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y(x) y(t)dt, если

y(0) 1.

(7 баллов)

Эта задача предлагалась в первом туре олимпиады БПИ 1990 года (задание 4).

6. Вычислить: а) lim

; б)

lim

(9 баллов)

n k 1

k n2

n k 1

k 2 n2

Решение. Для предела а) при любых k и n справедливо неравенство

1 n2 k n2 n n2 ,

из которого следует, что

и, значит,

n n2

k n2

1 n2

n .

k 1

n n2

k 1

k n2

k 1

1 n2

n n2

k 1

k n2

1 n2

Отсюда, учитывая, что lim

lim

1, мы получаем: lim

1 n2

n k 1

k n2

n	1	n
б) Так как сумма
б) Так как сумма	k 2 n2
k 1	k 2 n2	k 1

	1		1	является интегральной для определён-
1	k	2	n	является интегральной для определён-
		2	n



	n

ного интеграла функции	1	на отрезке [0, 1], то
	1 x2

n	1	1	dx			1 ln(1 2).
lim				ln(x	1 x2 )
	k 2 n2		1 x2
n k 1		0				0

Ответ. а) 1; б) ln(1 2).

7. Длинный железнодорожный состав, двигаясь по инерции, въезжает на горку с углом наклона α. Когда состав полностью остановился, на горке находилась половина его длины.

	Сколько времени прошло от начала подъёма до остановки? Какова была скорость v0 состава
	в момент въезда на горку? Длина состава L, трением пренебречь. (7 баллов)
	Решение. Пусть m – масса состава, x x(t) – пройденный им путь с момента въезда на
	F M	горку, P – вес части состава OM на горке.
		На точку M действует сила F, равная про-
	P	екции силы тяжести P на склон горки и,
		значит, F mgx sin , где g – ускорение
	O
		L
	свободного падения. Тогда в соответствии со вторым законом динамики

mgxsin

gxsin

F mx

или, коротко,

x 0, где k

g sin

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Оно имеет общее решение x C1 coskt C2 sin kt. Отсюда, учитывая, что x(0) 0, мы получаем C1 0 и, значит, x C2 sin kt. Скорость v v(t) поезда в момент вре-

мени t равна v x C k coskt и поскольку v(0) v

, то C

. Следовательно,

sin kt, v v0 coskt.

Пусть t1

– искомое время до остановки поезда. В момент остановки

, v 0. Тогда из

второго уравнения системы

sin kt , 0 v

coskt

мы находим t

, а из пер-

g sin

вого – v

gL sin

Ответ. t1

, v0

gL sin

g sin

8. Учителю и ученикам некоторого класса задаются вопросы. Вероятность того, что ответ учителя будет правильным равна , а вероятность правильного ответа учащегося равна или в зависимости от того, кто отвечал – мальчик или девочка, соответственно.

100

Вероятность того, что ответ случайно выбранного учащегося совпал с ответом учителя равна 0,5. Найти отношение числа мальчиков к числу девочек, если:

а) 0,5; 0,6; 0,4; б) 0,9; 0,6; 0,4. (5 баллов)

Решение. Пусть в классе b мальчиков и g девочек. Для события A = {учащийся правильно ответил на вопрос} имеются две гипотезы: H1 – на вопрос отвечал мальчик и H2 – отвечала

девочка. Тогда, учитывая, что P(H1 )

, P(H 2 )

, мы по формуле полной вероят-

b g

ности находим: P(A) P(H1)P(A | H1) P(H2 )P(A | H2 )

. Учитель и ученик пра-

b g

вильно отвечают на вопрос с вероятностью P(A), а оба они ошибаются с вероятностью

(1 )(1 P(A)). Тогда по условию задачи мы имеем:

(1)b

(1 )g

0,5 P(A) (1 )(1 P(A)) 0,5

)

b g

0,5

( (1 )(1))b ( (1 )(1 ))g

b g

Отсюда, в случае а) мы получаем: 0,5

0,5b 0,5g

0,5.

Значит, здесь отношение b : g может

b g

быть любым. В случае же б) мы находим: 0,5 0,58b 0,42g ,

откуда следует, что b = g, т.е.

b g

b : g = 1.

Ответ. а) Любое число; б) 1.

101

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025592.09 Кб0Математические задачи энергетики-1.pdf
#
24.11.2025996.55 Кб0Математические задачи энергетики.pdf
#
28.12.20257.05 Mб0Математические модели в транспортных системах-1.pdf
#
24.11.2025915.91 Кб1Математические модели в транспортных системах.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Математические модели и методы в горном производстве.pdf
#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf