13.1.Математическая олимпиада БГПА 1992 года (I тур)
1.Доказать, что уравнение xn P(x), где P(x) – многочлен (n – 1)-ой степени с поло-
жительными коэффициентами, имеет только один положительный корень. (4 балла)
|
Решение. Пусть P(x) a |
|
|
xn 1 a |
|
|
xn 2 a x a |
. Обозначим |
f (x) |
xn |
1. Так |
||||||||||||||||
|
n 1 |
n |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
P(x) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как |
f (0) 1, lim f (x) , то уравнение f (x) 0 имеет положительный корень. Поскольку |
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(x) |
nxn 1P(x) xn P (x) |
|
xn 1 |
(nP(x) xP (x)) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 (x) |
|
|
|
|
|
P2 (x) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
xn 1 |
|
(a |
|
|
|
xn 1 2a |
|
|
xn 2 |
(n 1)a x na ), |
|
|
|
||||||||||||
|
P2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|||||
то |
f (x) 0 при x > 0. Значит, функция |
|
f (x) возрастает на этом промежутке и поэтому ис- |
||||||||||||||||||||||||
ходное уравнение имеет единственный положительный корень. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2. При каких a и b в эллипс |
|
x2 |
|
|
y2 |
1 можно вписать равносторонний треугольник |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
так, чтобы центр треугольника совпадал с центром эллипса. (4 балла)
Решение. Пусть ABC – равносторонний треугольник, вписанный в эллипс, O – его центр, который совпадает с началом координат и R – радиус описанной около треугольника окружности. Для точек A и B эллипса имеем OA = OB, что возможно только если эти точки симметричны относительно одной из координатных осей. Для определённости будем считать, что они симметричны относительно оси ординат и находятся ниже оси абсцисс. Тогда
OC = b = R. Точки A и B имеют координаты
липса, получим a = R. Таким образом, a = b.
Ответ. a = b.
|
|
3 |
|
R |
|
|
|
|
R, |
|
. Подставив их в уравнение эл- |
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
x
arctg2 t dt
3. Найти lim |
0 |
|
|
. |
(4 балла) |
|
|
|
|
|
|||
x |
x2 1 |
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
Решение. Так как |
lim |
arctg2 t dt , lim |
x2 1 , то, применяя правило Лопи- |
|||
|
|
x |
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
таля, находим:
91
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 t dt |
|
|
|
arctg2 t dt |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
0 |
|
|
|
lim |
|
0 |
|
|
|
lim |
|
arctg |
|
|
2 |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
4 |
||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
. (5 баллов) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. Вычислить ln(1 tg tg x)dx, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Преобразуем данный интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 tg tg x)dx ln |
|
|
dx ln |
|
|
ln cos( x) dx. |
||||||||||||||||||||||
|
|
cos cos x |
cos |
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
cos x |
|
|
|
||||||||
В интеграле в правой части последнего равенства выполним замену переменной x z. В
|
|
|
|
|
|
0 |
cos z |
|
|
|
|
|
|
результате получим: |
ln cos( x) dx ln |
(dz) ln cos(z ) dz. Следовательно, |
|||||||||||
cos( z) |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
cos x |
|
0 |
cos z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ln cos( x) dx 0. |
Значит, |
ln(1 tg tg x)dx ln |
|
. |
|
||||||||
|
|
||||||||||||
0 |
cos x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
cos |
|
||
|
Ответ. ln |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5. Найти все гладкие кривые y y(x), y(x) 0 |
|
при x 0 |
такие, что для любого x0 0 |
|||||||||
центр тяжести однородной фигуры {(x, y) | 0 x x0 ,0 y y(x0 )} имеет абсциссу xC ,
равную 34 x0. (5 баллов)
Решение. Вычислим массу и статический момент относительно оси Oy фигуры для
x x
произвольного x 0: m y(t)dt, my ty(t)dt.По условию
00
|
|
my |
|
3 |
|
x ty(t)dt |
x |
x |
xC |
|
|
x |
0 |
3x y(t)dt 4 ty(t)dt. |
|||
m |
4 |
x |
||||||
|
|
|
|
y(t)dt |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Дифференцируя дважды почленно последнее равенство, получим:
x |
|
|
x |
|
|
|
|
y(t)dt xy(x) 3y(x) y(x) xy (x) xy (x) 2y(x). |
|
3 |
y(t)dt xy(x) 4xy(x) |
3 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
92 |
Интегрируя, полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, находим: y(x) Cx2. Непосредственной проверкой несложно убедиться в том, что эти кривые при C > 0 удовлетворяют условию задачи.
Ответ. y(x) Cx2 , C 0.
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найти сумму ряда |
|
|
. |
(5 баллов) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(n 1) |
n n n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Преобразовав данный ряд, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
||
(n 1) n n n 1 |
|
n 1 |
n ( n 1 |
|
n) |
n 1 n |
|
n 1 |
|||||||||
n 1 |
n 1 |
|
|
n 1 |
n 1 |
|
n |
|
|
|
|||||||
Ответ. 1.
7. Длинные сани с грузом, едущие по льду, попадают на участок, посыпанный песком и не пройдя и половины своей длины, останавливаются. После этого им резким толчком сооб-
щили первоначальную скорость. Найти отношение путей и времён торможения.
(7 баллов)
Решение. За начало отсчёта горизонтальной оси выберем границу льда и песка. Запишем уравнение движения саней в момент времени t, когда на песок заехала их часть x x(t),
учитывая, что движение саней тормозит сила трения F mgl x, где – коэффициент тре-
ния, m – масса саней, g – ускорение силы тяжести, l – длина саней. Тогда по второму закону
|
|
mg |
|
|
g |
x 0. Обозначив |
g |
2 |
, получим оконча- |
динамики ma F mx |
l |
x x |
l |
l |
через |
||||
тельно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x 0.
Общее решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
x C1 cos t C2 sin t. |
(1) |
Тогда скорость движения равна |
|
v C1 sin t C2 cos t. |
(2) |
Вначале движения по песку x(0) 0, v(0) v0. Подставив эти начальные условия в (1)
и(2), получим: C1 0, C2 v0 . Таким образом, в этом случае x v0 sin t, v v0 cos t. Сани
93
остановятся, когда v 0. Значит, время первого торможения равно t1 2 . Отсюда, x1 v0 sin t1 v0 – путь первого торможения.
После толчка x(0) x1, v(0) v0. При этих начальных условиях C1 C2 x1 и, стало быть,
x x1(cos t sin t), v v0 (cos t sin t).
Время второго торможения |
t2 также находим из уравнения v = 0. Здесь t2 |
|
|
|
t1 |
. Тогда |
||||||||||||||
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
t1 |
2. Так как x |
2 |
x(t |
2 |
) |
2x , то путь второго торможения равен x |
2 |
x |
|
|
2 1 x . Зна- |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
t2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
1 |
|
2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чит, отношение путей торможения равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 x1 |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ. 
2 1; 2.
8. Станок производит в среднем две бракованные детали из десяти. Известно, что
если на нём произведена бракованная деталь, то вероятность того, что следующая произ-
ведённая деталь будет бракованной, равна 1/3. Чему равна вероятность того, что произве-
дена небракованная деталь, если известно, что предыдущая деталь была также небракованной. (6 баллов)
Решение. Введём обозначения: p вероятность того, что деталь является бракованной, x
– искомая условная вероятность. С одной стороны, |
p |
|
2 |
|
|
1 |
. С другой стороны, по фор- |
|||||||
10 |
|
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
муле полной вероятности: |
p p |
1 |
(1 p)(1 x). Отсюда, |
x 1 |
2 p |
|
5 . |
|||||||
3 |
3(1 p) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||
Ответ. 56 .
94