9.2.Математическая олимпиада БПИ 1988 года (II тур)
1.Доказать, что
|
1 |
F |
F . . . |
F |
|
||||
|
F |
1 |
F . . . |
F |
|
F |
F |
1 . . . |
F |
|
. |
. |
. . . . . |
|
|
F |
F |
F . . . |
1 |
|
F |
F |
F . . . |
F |
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
F |
|
1 |
(1 F )n (1 F )n . |
(6 баллов) |
. |
|
2 |
|
|
F |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Решение. Обозначим определитель через n (F). Вычитая из его первой строки вторую и раскладывая полученный определитель по первой строке, получим:
|
F |
F . . . |
F |
F |
|
|
|
||||
|
F |
1 . . . |
F |
F |
|
n (F ) (1 F ) n 1 (F ) (1 F ) |
. |
. . . . . . |
. |
||
|
F |
F . . . |
1 |
F |
|
|
F |
F . . . |
F |
1 |
|
Для вычисления последнего определителя в правой части добавим его первый столбец ко всем остальным:
|
|
|
F F . . . |
F |
|
F |
|
|
|
F 0 . . . |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
F 1 . . . |
F |
|
F |
|
|
|
F 1 F . . . |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
. |
. . . . . |
|
. |
|
|
|
. |
. . . . |
. |
|
|
. |
|
F (1 F )n 2. |
||||||||||
|
|
|
F F . . . |
1 |
|
F |
|
|
|
F 2F . . . |
1 F 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
F F . . . |
F |
|
1 |
|
|
|
F 2F . . . |
2F 1 F |
|
|
|
|||||||||||||
Тогда |
(F ) (1 F ) |
n 1 |
(F ) F (1 F )n 1. Заметим далее, |
что |
n |
( F) |
(F) и, значит, |
||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
n |
(F ) (1 F ) |
n 1 |
(F ) F (1 F )n 1. Исключив из системы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(F ) (1 F ) |
n 1 |
(F ) F (1 F )n 1, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(F ) (1 F ) |
(F ) F (1 F )n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 1(F), |
мы и получим доказываемое выражение для определителя n (F). |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Исследовать сходимость интеграла I |
|
|
|
. |
(6 баллов) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x ln |
2 |
(1 |
x ) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Поскольку бесконечно большая ln(1 
x ) эквивалентна на бесконечности бесконечно большой ln 
x , то по сходимости данный интеграл равносилен несобственному
59
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
интегралу |
|
|
|
, a 1. |
Этот интеграл сходится, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Значит, |
|||||||
x ln |
2 |
|
x ln |
2 |
|
ln x |
|
|
ln a |
|||||||||||||||
a |
|
x |
|
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
|
a |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
сходится и интеграл I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. Сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Пусть z – комплексная переменная. Найти |
lim tg z, |
lim |
tg z. (4 балла) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im z |
|
Im z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Обозначим z x iy. Тогда, учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
lim e2iz lim e 2 y (cos2x i sin 2x) 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Imz |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
tg z |
lim |
eiz e iz |
|
lim |
|
e2iz |
1 |
|
0 1 |
|
i. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1) |
i(0 |
1) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Imz |
Imz i(eiz e iz ) |
|
Imz i(e2iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из нечётности функции tg z сразу же следует, что lim tg z i.
Im z
Ответ. i; –i.
|
4. Найти асимптоты конхоиды Никомеда r |
a |
l (a 0, l 0). |
(8 баллов) |
|||||
|
sin |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Запишем уравнение конхоиды в декартовых координатах. Так как |
||||||||
r |
x2 y2 , sin |
|
y |
, то из уравнения конхоиды следует, что |
|
||||
|
|
|
|||||||
x2 |
y2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ly |
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
. |
(1) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y a |
|
|
||
Отсюда сразу же вытекает, что lim x и, |
значит, прямая y a является горизонтальной |
||||||||
|
|
|
|
y a |
|
|
|
|
|
асимптотой этой кривой. Левая часть уравнения (1) не ограничена при y , а правая имеет
пределом число l 2 , |
поэтому координата y кривой не может быть неограниченной. Следова- |
||||||||||||||||||||||
тельно, конхоида не может иметь вертикальных и наклонных асимптот. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ. y a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Исследовать сходимость ряда |
n |
. (5 баллов) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12 |
|
|
|
36 |
|
(y |
36 |
) |
|
|
|
|
36y |
35 |
|
36 35y |
34 |
|
36! |
|
|
||
lim |
x |
|
|
lim |
y |
|
lim |
|
|
|
lim |
|
lim |
|
lim |
|
0, |
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y ln2 2 |
|
2 |
|||||||||||
x 2 |
x |
y 2y |
y (2y ) |
y 2y ln 2 |
y |
y 2y ln36 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
10 |
|
1 |
|
|
|
||||||
то, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство |
n |
|
|
1 |
n |
|
|
. Поскольку |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
n2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд |
сходится, то по признаку сравнения сходится и данный ряд. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. Сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6. Найти все значения параметра , 0 , при которых функция |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3x4 4x3 (cos sin ) 3x2 sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
на отрезке [ sin , cos ] принимает наименьшее значение. (5 баллов) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Эта задача предлагалась в первом туре олимпиады БПИ 1986 года (задание 4). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. Найти интегральные кривые дифференциального уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 y 2 )y 3y y 2 0. (4 балла) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Решение. Подстановкой y z это уравнение сводится к неполному дифференциаль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ному уравнению второго порядка: (1 z2 )z 3zz 2 0. |
После замены z p(z) |
приходим к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнению первого порядка: (1 z2 ) p p 3zp2 |
0. Рассмотрим два случая: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) p 0. |
Здесь z 0 z C1 |
y C1 y C1x C2. Таким образом, в этом случае |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
интегральными кривыми являются прямые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б) (1 z 2 ) p 3zp 0. Тут переменные разделяются: |
dp |
|
|
3zdz |
. Интегрируя, получаем: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 z 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p C1 (1 z 2 )2 . Тогда z C1(1 z2 )2 |
|
|
|
C1x C2. Проведя в интеграле слева за- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 z 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мену переменной z tgt, получим после интегрирования sint C1x C2. Тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
C1x C2 |
|
|
|
и, значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 (C x C |
2 |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
C1x C2 |
|
|
y |
|
|
|
C1x C2 |
|
|
|
|
dx |
1 |
|
1 (C x C |
|
)2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (C x C |
|
)2 |
|
1 (C x C |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, в этом случае интегральными кривыми являются полуокружности с уравне-
ниями y |
1 |
1 (C x C |
)2 . |
|
|
||||
|
C1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Ответ. Прямые и полуокружности. |
||||
61
8. С помощью разложения в ряд по степеням x найти решение дифференциального уравнения xy y xy 0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) a, y (0) 0, где a –
отличное от нуля заданное число; определить область существования полученного решения.
(5 баллов)
Эта задача предлагалась в первом туре олимпиады БПИ 1986 года (задание 8).
62