9.1.Математическая олимпиада БПИ 1988 года (I тур)
1.Через каждую вершину треугольника проводится ветвь гиперболы, фокусы которой находятся в двух других вершинах. Доказать, что эти гиперболы пересекаются в одной
точке внутри треугольника. (4 балла)
Решение. Пусть гиперболы, проходящие через вершины A и B, пересекаются в точке O внутри треугольника ABC. Тогда по определению гиперболы
AB AC OB OC, BA BC OA OC.
Вычитая почленно из второго равенства первое, получим: CA CB OA OB. Значит, точки C и O лежат на гиперболе с фокусами A и B. Таким образом, O – общая точка всех трёх гипербол.
2. Из одной точки проведены три вектора a, b , c, не лежащие в одной плоскости. До-
казать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна вектору
r a b b c c a. (4 балла)
Решение. Достаточно, убедиться, что a b r и a c r. Имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
|
) |
|
|
(a |
|
|
) (a |
|
|
|
c c a ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
aa |
|
a |
|
c aca |
|
a |
|
|
|
|
|
c |
|
ca 0 a |
|
c 0 0 0 a |
|
c 0, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
b |
b |
b |
b |
b |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||
т.е. a |
|
|
|
. Аналогично проверяется, что a c |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Для любого x функция f(x) удовлетворяет условию f (x) 0, f 2 (x) f (x2 ) 2. Дока- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зать, что |
f (x) 2 для любого x 0. (6 баллов) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Из неравенства f 2 (x) f (x2 ) 2 следует, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) 2 f (x2 ) 2 2 f (x4 ) 2 2 2 f (x8 ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, при любом натуральном n f (x) an , где an последовательность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
an |
2 |
2 |
2 2 . Очевидно, эта последовательность возрастает и ограничена чис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
лом 2. Следовательно, она сходится. Обозначим её предел через A. Поскольку an2 2 an , то в пределе A2 2 A, откуда A 2. Тогда, переходя в неравенстве f (x) an к пределу при
n , получим требуемое неравенство f (x) 2.
4. Найти все чётные и нечётные решения дифференциального уравнения y sin y y 0. (4 балла)
55
Решение. Пусть y y(x) чётное решение данного дифференциального уравнения. Тогда y y (x) нечётная функция, а y y (x) чётная функция. Из дифференциального уравнения следует, что y y sin y . Левая часть этого равенства – чётная функция, а правая – нечётная, что возможно только тогда, когда y y sin y 0. Чётными решениями уравнения y y 0 являются функции y С cosx, где C – постоянная. Равенство же
sin y sin( C sin x) 0 возможно только при C = 0. Таким образом, y 0 единственное чётное решение данного дифференциального уравнения. Аналогично проверяется, что эта же функция является и единственным нечётным решением.
Ответ. y 0.
5. На промежутке[0, ) задана непрерывная, монотонная функция y f (x), имею-
щая обратную функцию x (y), причём f (0) 0. Доказать, что a |
f (x)dx b (y)dy ab. |
0 |
0 |
(4 балла) |
|
Решение. Неравенство может выполняться только, если функция y f (x) возрастающая. Рассмотрим два случая:
1) f (a) b. Здесь
a |
b |
a |
f (a) |
|
|
b |
|
|
|
|
f (x)dx |
|
|
|
(y)dy |
f (x)dx (y)dy |
(y)dy |
||||||
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
f (a) |
|
b |
b |
af (a) |
(y)dy af (a) |
ady af (a) a(b f (a)) ab. |
|
f (a) |
f (a) |
2) f (a) b. В этом случае
a |
b |
(b) |
a |
b |
f (x)dx (y)dy f (x)dx f (x)dx |
||||
0 |
0 |
0 |
(b) |
0 |
|
a |
|
a |
|
b (b) f (x)dx b (b) |
bdx b (b) b(a |
|||
|
(b) |
|
(b) |
|
6. При каких натуральных n система линейных уравнений
|
|
x2 x3 xn 1 xn 1, |
|||
x |
|
x x |
x 1, |
||
|
1 |
|
3 |
n 1 |
n |
................................................... |
|||||
|
|
|
|
|
|
x x x |
|
x 1, |
|||
|
1 |
2 |
3 |
|
n |
x x x x |
n 1 |
1 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
(y)dy
(b)) ab.
56
совместна? (6 баллов)
Решение. Вычитая почленно из каждого уравнения следующее за ним, получим: x2 x1 0, x3 x2 0, , xn xn 1 0,
следовательно, x2 x1, x3 x1, , xn ( 1)n 1 x1. Подставив эти выражения в первое уравне-
ние системы, придём к равенству: x1 x1 x1 x1 ( 1)n 1 x1 1. Отсюда следует, что, если n нечётно, то система несовместна, если же n чётно, то система имеет единственное ре-
шение x1 1, x2 1, x3 1, x4 1, , xn 1 1, xn 1.
Ответ. n чётное.
7. Для каких действительных x сходится ряд cosnx ? (3 балла)
n 1
Решение. При x k , k Z ряд расходится, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости. Пусть теперь x k. Из равенства
cosnx cos(n 1)xcosx sin(n 1)xsin x
следует, что, если данный ряд сходится, то сходится также и ряд sin nx. Тогда по необхо-
n 1
димому условию сходимости последовательности sin nx и cosnx являются бесконечно малыми. Отсюда следует, что и последовательность sin2 nx cos2 nx также бесконечно мала, что противоречит тождеству sin2 nx cos2 nx 1.
Ответ. Ряд расходится при всех действительных x.
8. Имеется два резервуара, представляющих собой параболоиды вращения одинаковой высоты и одинаковых диаметров оснований. Один из них покоится на основании, а другой установлен основанием вверх. Найти отношение работ, затрачиваемых на заполнение ре-
зервуаров однородной жидкостью. (8 баллов)
Решение. Пусть H – высота параболоида, R – радиус его основания. Если параболоид установлен вершиной вверх, то уравнение параболы в его осевом сечении запишется в виде:
y H RH2 x2. Выделим в параболоиде бесконечно тонкий слой толщины dh, находящийся
на высоте h. Этой высоте соответствует квадрат радиуса сечения x2 R2 (H h). Тогда
H
объём слоя равен dV R2 (H h)dh и, значит, работа по заполнению этого слоя жидкостью
H
57
выразится равенством |
dA |
R2 g |
h(H h)dh, |
|
где ρ – плотность жидкости. Найдём работу по |
||||||||||
|
H |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заполнению всего резервуара: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
H |
R2 |
|
g |
|
R2 |
|
g |
h2 |
|
h3 |
|
|
H |
1 R2 H 2 g. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
|
|
|
h(H h)dh |
H |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
0 |
H |
|
|
H |
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично для другого резервуара. Его парабола имеет уравнение y RH2 x2 , объём слоя
толщины dh на высоте h равен dV R2 hdh, работа по заполнению этого слоя жидкостью
H
равна dA R2 g h2dh и, значит, работа по заполнению всего резервуара выразится интегра-
H
лом
A H R2 g h2dh R2 g |
h3 |
|
|
H |
1 R2 H 2 g. |
||||
|
|
||||||||
|
|||||||||
2 |
|
H |
H 3 |
|
|
|
3 |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, A2 : A1 2.
Ответ. 2.
58