СОДЕРЖАНИЕ

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.12.2025

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

1 / 351 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

П.Г. Ласый

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ БПИ–БГПА–БНТУ

Методическое пособие для студентов технических и экономических специальностей

Электронный учебный материал

Минск БНТУ 2024

Автор: П.Г. Ласый, доцент кафедры высшей математики БНТУ, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Рецензенты: А.К. Деменчук, главный научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений Института математики НАН Беларуси, доктор физ.-мат. наук, профессор А.П. Шилин, доцент кафедры высшей математики и математической физики БГУ,

кандидат физ.-мат. наук, доцент

Настоящее пособие содержит свыше трёхсот задач, предлагавшихся на математических олимпиадах БПИ – БГПА – БНТУ в 1980 – 2023 гг. Приводятся подробные решения всех задач.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических специальностей, оно может быть также полезно преподавателям, ведущим подготовку студентов к олимпиадам.

Ласый П.Г., 2024

БНТУ, 2024

	СОДЕРЖАНИЕ
	ПРЕДИСЛОВИЕ …………………………………………………………………….	5
1.	Математическая олимпиада БПИ 1980 года ………………………………………	6
2.	Математическая олимпиада БПИ 1981 года ………………………………………	11
3.	Математическая олимпиада БПИ 1982 года (I тур) ………………………………	15
4.	Математическая олимпиада БПИ 1983 года (I тур) ………………………………	21
5.1.	Математическая олимпиада БПИ 1984 года (I тур) ………………………………	26
5.2.	Математическая олимпиада БПИ 1984 года (II тур) ……………………………..	29
6.	Математическая олимпиада БПИ 1985 года (I тур) ………………………………	33
7.1.	Математическая олимпиада БПИ 1986 года (I тур) ………………………………	39
7.2.	Математическая олимпиада БПИ 1986 года (II тур) ……………………………..	44
8.	Математическая олимпиада БПИ 1987 года (I тур) ………………………………	49
9.1.	Математическая олимпиада БПИ 1988 года (I тур) ………………………………	55
9.2.	Математическая олимпиада БПИ 1988 года (II тур) ……………………………..	59
10.1.	Математическая олимпиада БПИ 1989 года (I тур) ………………………………	63
10.2.	Математическая олимпиада БПИ 1989 года (II тур) ……………………………..	67
11.1.	Математическая олимпиада БПИ 1990 года (I тур) ………………………………	72
11.2.	Математическая олимпиада БПИ 1990 года (II тур) …………………………......	76
12.1.	Математическая олимпиада БПИ 1991 года (I тур) ………………………………	79
12.2.	Математическая олимпиада БПИ 1991 года (II тур) ……………………………..	84
13.1.	Математическая олимпиада БГПА 1992 года (I тур) …………………………….	91
13.2.	Математическая олимпиада БГПА 1992 года (II тур) ……………………………	95

14.Математическая олимпиада БГПА 1993 года (I тур) ……………………………. 102

15.Математическая олимпиада БГПА 1994 года (I тур) ……………………………. 106

16.Математическая олимпиада БГПА 1995 года (I тур) ……………………………. 111

17. Математическая олимпиада БГПА 1996 года (II тур) …………………………… 115

18.Математическая олимпиада БГПА 1998 года ……………………………………. 119

19.Математическая олимпиада БНТУ 2006 года ……………………………………. 122

20.Математическая олимпиада БНТУ 2007 года ……………………………………. 125

21.Математическая олимпиада БНТУ 2008 года ……………………………………. 129

22.Математическая олимпиада БНТУ 2009 года ……………………………………. 133

23.Математическая олимпиада БНТУ 2010 года ……………………………………. 137

24.Математическая олимпиада БНТУ 2011 года ……………………………………. 140

25.Математическая олимпиада БНТУ 2012 года ……………………………………. 142

26.Математическая олимпиада БНТУ 2013 года ……………………………………. 145

27.Математическая олимпиада БНТУ 2014 года ……………………………………. 148

28.Математическая олимпиада БНТУ 2015 года ……………………………………. 152

29.Математическая олимпиада БНТУ 2016 года ……………………………………. 155

30.Математическая олимпиада БНТУ 2017 года ……………………………………. 160

31.1. Математическая олимпиада БНТУ 2018 года (1 курс) ………………………….. 164 31.2. Математическая олимпиада БНТУ 2018 года (2 курс) …………………………. 166

32.Математическая олимпиада БНТУ 2019 года ……………………………………. 169

33.Математическая олимпиада БНТУ 2021 года ……………………………………. 173

34.1. Математическая олимпиада БНТУ 2022 года (1 курс) ………………………….. 176 34.2. Математическая олимпиада БНТУ 2022 года (2 курс) …………………………. 178

35.1.Математическая олимпиада БНТУ 2023 года (1 курс) ………………………….. 181

35.2.Математическая олимпиада БНТУ 2023 года (2 курс) ………………………….. 184

ПРЕДИСЛОВИЕ

Автор завершил свой полуторагодовой труд по поиску и решению задач, предлагавшихся на математических олимпиадах БПИ – БГПА – БНТУ в 1980 – 2023 гг. Задания олимпиад 1997 года и 1999 – 2005 гг. автору, несмотря на все его усилия, разыскать не удалось. В 2020 году олимпиада в связи с пандемией не проводилась.

Автор отыскал и обработал учебный материал по олимпиадам за довольно значительный промежуток времени, что дало ему возможность проследить за историей олимпиадного движения в политехническом институте со всеми его недостатками и достоинствами. Пользуясь случаем, он хотел бы провести небольшой анализ качества олимпиадных задач. Вопервых, некоторые задачи, как можно увидеть из текста, дублировались на олимпиадах. Вовторых, олимпиадная задача должна быть желательно короткой по формулировке и уж точно короткой по решению. Решение же, например, задачи №2, предлагавшейся во втором туре олимпиады 1991 года, коротким никак не назовёшь (и это притом, что автор сократил решение). В-третьих, олимпиадная задача в вузе не должна быть тривиальной, доступной учащемуся базовой школы. Примером может служить задача №1 на олимпиаде 2018 года. В- четвёртых, олимпиадная задача по определению должна быть хотя бы немного нестандартной. Предлагать на олимпиаде задачи уровня наших практических занятий на взгляд автора недопустимо. Указанные замечания носят скорее характер исключения, чем правила. В целом же, составители задач профессионально относились к своему делу. Автор пособия провёл немало приятных минут за решением некоторых интересных задач.

В заключение автор выражает благодарность доцентам кафедры высшей математики БНТУ Карпуку В.В. и Рудому А.Н. за полезные замечания и обсуждения по ходу работы над пособием. И особая благодарность Татьяне Степановне Неверович, много лет работавшей на кафедре высшей математики №3 БНТУ, которая поделилась с автором своим архивом олимпиадных задач.

13 января 2024 года

П.Г. Ласый

1. Математическая олимпиада БПИ 1980 года
	2		x
1. Определить закономерность в расположении тех точек кривой y		4a x a sin		,
		4a x a sin		,
			a

для которых касательная параллельна оси Ox.

								x
	x		x
Решение. Поскольку x a sin		1 cos		0,	то функция	y 2	a x a sin		моно-

	a		a					a

тонна в своей области определения, которой при a > 0 является полуось [0, +∞), а при a < 0 –

2a 1 cos

полуось (–∞, 0]. Производная

(0)

не существует, а при

. Касательная

параллельна оси Ox там, где y 0

и, значит, 1 cos

0, откуда x (2n 1) a, где n – целое

неотрицательное число. Этим значениям x соответствуют значения y, для которых y2 4ax. Таким образом, точки данной кривой, для которых касательная параллельна оси Ox, лежат на параболе с уравнением y2 4ax.

Ответ. Искомые точки лежат на параболе y2 4ax, где x (2n 1) a и n – целое неотрицательное число.

2. Доказать, что линия

x a1t 2 b1t c1,y a2t 2 b2t c2 ,z a3t 2 b3t c3

плоская и составить уравнение плоскости, в которой она лежит.

Решение. Покажем, что данная кривая расположена в плоскости, проходящей через точку M0 (c1,c2 ,c3 ), параллельно векторам a (a1, a2 , a3 ) и b (b1 ,b2 ,b3 ). Уравнение этой плоскости мы можем записать в виде

x c1	y c2	z c3	0.	(1)
x c1	y c2	z c3
a1	a2	a3
b1	b2	b3

Подставив сюда координаты произвольной точки кривой и использовав соответствующие свойства определителя, мы получим при любом действительном t:

a t 2

b t

t 2 b t

a t 2

b t

a t 2

t 2

a t 2

b t b t b t

0 0 0,

в чём и требовалось убедиться.

Ответ. Данная линия лежит в плоскости (1).

x3dx						1		4
3. Вычислить				, зная, что				.
3. Вычислить		x		, зная, что			4	.
0	e		1		n 1	n		90

Решение. Применяя правило Лопиталя, мы находим:

3x2

lim

ex 1

x / 2

/ 2

/ 2 3x

)

lim

(ex 1)

(ex / 2 )

ex 1

ex / 2

x ex / 2

Тогда при некотором достаточно большом M при всех x M выполняется неравенство

e x / 2

. Несобственный интеграл e x / 2 dx 2e M / 2

сходится, поэтому по признаку

сравнения сходится и данный интеграл. Для его вычисления разложим подынтегральную функцию в ряд:

x	3		1
		x3 e x		x3 e x e x n x3 e (n 1) x , x 0.
ex 1			1 e x
				n 0	n 0

Интегрируя почленно это равенство, получим:

					3	dx
					x	dx
							x3 e (n 1) x dx.
				ex		1	x3 e (n 1) x dx.
			0					n 0	0
														6
Далее, трижды интегрируя по частям, находим x3 e (n 1) x dx														6			и, следовательно,

														(n	1)	4
									0					(n	1)
									0
		3	dx					6			4		4
		x	dx					6
										6 90		15 .
		ex	1					(n 1)4		6 90		15 .
	0					n 0
Ответ.	4
Ответ.	.
	15
	1

4. Решить уравнение (x)d n(x).

Решение. Проведём в интеграле замену переменной x t, которая приводит его к

виду (t)dt nx(x). Дифференцируя обе части этого уравнения, получим:

					(x) n( (x) x (x)).
Если здесь n = 0, то (x) 0,			а при n 0 разделим в этом уравнении переменные и
	d(x)	1 n dx			1 n

проинтегрируем:					(x) C \| x \| n , где C – действительная постоянная.
проинтегрируем:	(x)	n		x	(x) C \| x \| n , где C – действительная постоянная.
	(x)	n		x

Непосредственной проверкой мы можем убедиться в том, что найденная функция при n 0

является решением исходного уравнения. При n 0 интеграл расходится.

1 n

Ответ. (x)

, n 0;

C | x |

0, n 0.

1 1

5. Какой интеграл больше: x x dx или

(xy)xy dxdy ?

0 0

Решение. Преобразуем второй интеграл, использовав подстановку xy z :

1 1

1 x

(xy)xy dxdy

(xy)xy dy dx

z z dz dx.

0 0

x 0

Последний интеграл проинтегрируем по частям:

1 x

z z dz dx

z z dz d ln x ln x

z z dz

ln x

z z dz

ln x

z z dz

x x ln x dx.

0 x 0

0 0

Применив правило Лопиталя, получим:

z z dz

x x

lim ln x

z z dz (0 ) lim

lim

(ln x)

(ln x) 1

(ln x)

x 0

ln 2 x

ln x

ln 2

(ln x)

2 ln x (1/ x)

lim x x lim

exp lim

lim

exp lim

lim

1/ x

(1/ x)

1/ x

x 0

exp lim

1/ x

lim

2 ln x

2 exp lim ( x) lim

ln x

2 exp0 lim ( x) 2 1 0 0.

1/ x2

x 0

x 0 1/ x

x 0

1/ x

x 0

Тогда

z z dz dx

x x ln x dx

x x (ln x

1) dx

x x dx

0 x 0

x x

10 x x dx ( 1 1) x x dx x x dx

и, таким образом,

		1		1 1
		x x dx		(xy)xy dxdy.
		0		0 0
Ответ. Данные интегралы равны.
				1
			x2
			x2		x(sin x x)
6. Вычислить предел	A lim cos x					.
6. Вычислить предел	A lim cos x					.
	x 0		2
	x 0		2

Решение. Здесь мы имеем неопределённость 1 . Так как

и lim

x 0

																		cosx 1			x2
															1			cosx 1			2				cos x 1		x2
											2				1			x(sin x x)
																	x2
																	x2
										x		cosx 1														2
	A lim		1 cos x			1										2						explim				2
	A lim		1 cos x			1										2						explim
		x 0								2												x	0		x(sin x	x)
										2															x(sin x	x)

		x2			x4							4				1
cos x 1			0					o(x					)						1					1
cos x 1		2	0					o(x					)			4!			1					1
		2		lim		4!										4!				,		то A e		4 . Здесь		мы использовали
x(sin x x)			0	lim		4													4	,		то A e		4 . Здесь		мы использовали
x(sin x x)			0	x 0			x		o(x				4	)		1			4
																3!
						3!
						3!

формулы Маклорена третьего и четвёртого порядков для функций sin x и cosx , соответственно.

Ответ. A e 4 .

7. Доказать, что ранг матрицы A ( ij ) равен рангу матрицы A ( ij ), где ij обо-

значает число, комплексно-сопряжённое с ij .

Решение. Это следует из того, что, если M – произвольный минор матрицы A, то M –

соответствующий минор матрицы A.

8. Капля с начальной массой M0 г, свободно падая в воздухе, равномерно испаряется и ежесекундно теряет m0 г. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения капли. Найти зависимость скорости движения капли от времени, прошедшего от начала дви-

жения капли, если в начальный момент времени скорость капли равна нулю. Принять коэф-

фициент пропорциональности k m0.

Решение. Пусть m(t), v(t) – масса и скорость капли, соответственно, в момент времени t. Очевидно, m(t) M 0 m0t. По второму закону динамики, учитывая сопротивление воздуха, мы получаем следующее линейное дифференциальное уравнение для скорости движения капли:

m(t)v m(t)g kv v

v g.

m(t)

Интегрирующим множителем для последнего уравнения является функция

(t) exp

dt exp

ln m(t)

(m(t))

0 .

m(t)

Тогда

(t) v

g (t)

(m(t))

v k(m(t))

v g(m(t))

(m(t))

g(m(t))

0 .

m(t)

Отсюда, после почленного интегрирования последнего уравнения, мы получаем:

gm(t)

m(t) m0

(m(t))

0 v

g(m(s))

(m(t))

M m0

v(t)

k m

gm(t)

m(t) m0

Ответ.

v(t)

где m(t) M

m t.

k m

1 / 351 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.12.2025592.09 Кб0Математические задачи энергетики-1.pdf
#
24.11.2025996.55 Кб0Математические задачи энергетики.pdf
#
28.12.20257.05 Mб0Математические модели в транспортных системах-1.pdf
#
24.11.2025915.91 Кб1Математические модели в транспортных системах.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Математические модели и методы в горном производстве.pdf
#
28.12.20254.98 Mб0Математические олимпиады БПИ–БГПА–БНТУ.pdf
#
24.11.20251.63 Mб2Математический анализ. Функции нескольких переменных. Курс лекций для студентов инженерно-технических и экономических специальностей.pdf
#
28.12.2025793.46 Кб0Математический анализ. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.15 Mб1Математический анализ. Ч. 2..pdf
#
24.11.20251.03 Mб1Математический анализ. Часть 3.pdf
#
24.11.20251.13 Mб1Математический анализ.pdf

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

1. Математическая олимпиада БПИ 1980 года