Математические модели в транспортных системах-1
.pdf
Решение.
Шаг 1. Начальному пункту 1 присваивается потенциал v1 = 0 (потенциалы указаны в квадратах).
Шаг 2.
1-й этап. Звенья, начальным пунктам i которых присвоен потенциал vi, а для конечных пунктов j потенциалы не присвоены: 1-2 и 1-5. Рассчитываются значения потенциалов конечных пунктов j :
u2(1) = v j + 11-2 = 0 + 5 = 5 u5(1) = v j + I1.5 = 0 + 6 = 6
Из рассматриваем^1х на данном этапе потенциалов находится минимальный
m i |
n { u 2 ( 1 ) , " 5 ( 1 ) } = u 2 ( 1 ) = |
5 . |
i , J |
|
|
Потенциал u2(1) присваивается соответствующему конечному пункту (v2 = u2(1) =5), а звено 1-2 отмечается стрелкой.
2-й этап. Звенья, начальным пунктам i которых присвоен потенциал vi, а для конечных пунктов j потенциалы не присвоены: 1-5, 2-3 и 2-4. Рассчитываются значения потенциалов конечных пунктов j :
u5(1) = v1 + 11.5 = 0 + 6 = 6 u3(2) = v2 + l2-3 = 5 + 6 = 11
u4(2) = v2 + l2-4 = 5 + 6 = 11
Из рассматриваемых на данном этапе потенциалов находится минимальный
m i n { u 5 ( 1 ) , u 3 ( 2 ) , u 4 ( 2 ) } = u 5 ( 1 ) = 6 . i , J
Потенциал u5(1) присваивается соответствующему конечному пункту (v5 = u5(1)), а звено 1 - 5 отмечается стрелкой.
3-й этап. Звенья, начальным пунктам i которых присвоен потенциал vi, а для конечных пунктов j потенциалы не присвоены: 2-3, 2-4 и 5-4. Рассчитываются значения потенциалов конечных пунктов j:
u3(2) = v2 + l2-3 u4(2) = v2 + l2-4 u4(5) = v4 + l5-4
=5 + 6 = 11
=5 + 6 = 11
=6 + 5 = 11
Из рассматриваемых на данном этапе потенциалов находится минимальный
m i n { u 3 ( 2 ) , u 4 ( 2 ) , u 4 ( 5 ) } = u 3 ( 2 ) = u 4 ( 2 ) = u 4 ( 5 ) = |
1 1 . |
Минимальное значение потенциалов, равное 11, присваивается соответствующим конечным пунктам v3 = 11 и v4 = 11 (первый частный случай), и звено 2-3, а также, например, 2-4 (одно из двух 2-4 и 5-4 - второй частный случай) отмечаются стрелкой.
4-й этап. Так как потенциалы присвоены всем пунктам, то решение закончено.
83
Е Х ^ < Х а 1 ; |
(3 .1 ) |
||
= |
1 |
|
|
m |
|
|
|
Е X i j < X B j |
; |
(3 .2 ) |
|
= 1 |
|
|
|
m |
n |
|
|
Е |
Е Xij lij |
= min}; |
(3.3) |
i = 1 J = 1 |
l X i j ) |
|
|
Xij > 0. |
|
(3.4) |
|
В случае, если запасы у поставщиков равны общим потребностям получателей, то
m |
|
n |
|
|
Е |
X a ; = |
Е |
XBJ . |
(3.5) |
i = |
1 |
j = |
1 |
|
Поставленная таким образом задача (ограничения 3.1, 3.2, 3.4 и целевая функция 3.3) является сбалансированной (условие 3.5) классической транспортной задачей линейного программирования, в результате решения которой по известным значениям ХА1, XBJ, 1ij находятся оптимальные значения корреспонденций Xij.
Задача может быть поставлена с дополнительными условиями:
1) имеются ограничения на размер поставок от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю в объемах X o i j ,i = 1, m ; j = 1, n;
2) |
запрещена поставка ресурса от i-го поставщика j-му потребителю, т.е. должно быть |
|||
обеспечено условие Xij=0; |
|
|
|
|
3) |
должна быть обеспечена |
поставка от i-го поставщика |
j-му потребителю в |
|
г а р а н т и р о в а н н о м о б ъ е м е Xpij (Xpij < |
ХА1 |
и Xpij < Xвj); |
|
|
4) |
при несбалансированной задаче |
необходимо назначить по |
какому-то из пунктов |
|
корреспонденцию реального или фиктивного ресурса.
Для решения транспортная задача может быть представлена в виде распределительной таблицы (таблица 3.3).
Одна из возможных общих схем алгоритма решения несбалансированной транспортной задачи линейного программирования с учетом ограничений на размер корреспонденций представлена на рисунке 3.23. Ниже приведены алгоритмы реализации отдельных этапов решения поставленной задачи.
87
Таблица 3.3 - Распределительная таблица (общий вид) |
|
|
|
|
Поставщики |
Потребители Bj |
|
Запас |
Потенциа- |
Ai |
|
B n |
ресурса |
лы UAI |
B j |
Bj |
ХАА1 |
|
|
A j |
|
|
|
|
Ai |
S i j |
1 i j |
Xi |
UAI |
X i j
Xoij
Am
Потребность |
|
в ресурсе XBj |
|
Потенциалы |
u B j |
u B j |
|
Для получения первоначального базисного решения рассмотрим применение метода минимального элемента. В соответствии с этим методом распределение составляется по следующему алгоритму:
1) формируются дополнительные массивы стоимостей I'ij (I'ij = lij), объемов ресурса X'AI
( Х ' А 1 = Х А 1 ) и X ' B j ( X ' B j = X B j ) , i = ^ ; |
j = |
|
2) находится минимальная стоимость из всех связей |
||
1 r w = m i n 1 i j . |
|
|
Если 1rw = ^ |
, то первоначальное базисное решение получено. Иначе на 3); |
|
3) связь rw, |
соответствующую |
минимальной стоимости, загружают корреспонденцией |
Xrw. Объем корреспонденции Xrw , назначаемый для связи rw, определяется как минимум от объемов запаса и потребности с учетом ранее назначенных других поставок:
X r w = m i n (Х'АГ ,X'BW),
где X'Ar - количество ресурса r-го поставщика с учетом ранее назначенн^хх корреспонденций другим, кроме w-го, потребителям; X'BW - количество ресурса, требуемого w-му потребителю
сучетом ранее назначенн^хх корреспонденций от других, кроме r-го поставщика;
4)из сравниваем^1х величин X'Ar и X'Bw вычитается значение Xrw , в результате чего
получаются измененные ограничения Х'АГ = Х ' А Г - X r w и X'BW = X ' B W - X r w ; 5) изменяется массив 1'ij по следующему правилу:
если X'Bw=0, то 1'iw = ^ (i = 1, m ), иначе ( Х ' А Г = 0 ) 1'rj = ^ ( j = 1, n );
6) переход на пункт 2)
Пункт 5 алгоритма обеспечивает исключение из дальнейшего рассмотрения поставщика (если X'Ar =0), либо получателя (если X'Bw=0). Остаток объема ресурса X'Ar или X'Bw к дальнейшему распределению может иметь значение, равное нулю.
Полученное таким образом закрепление потребителей ресурса за поставщиками является одним из возможных базисных распределений.
90