Математические модели в транспортных системах-1

Методы случайного поиска основаны на формировании на отрезке поиска случайным образом расчетных точек, вычислении в этих точках значений функции и нахождении точки, соответствующей экстремуму целевой функции. Точность определяется числом точек поиска (числом испытаний) n.

Повторение испытаний описывается формулой Бернулли (биноминальным распределением)

P(k) = C k pk q n - k , k = 0, 1, 2, ..., n,

где k - число благоприятных случаев; n - общее число испытаний;

p - вероятность благоприятного исхода при одном испытании; q - вероятность, противоположная p (q=1-p).

Вероятность, что событие наступит n раз

P(n) = pn

что не наступит ни разу

P(0)= (1-p)n ;

наступит хотя бы один раз

P i = 1 - p(0) = 1 - (1-p)n

Если абсолютную точность поиска решения на участке (b - a) обозначить через 8, то вероятность решения при одном испытании p = 8/(b - a). При этом вероятности Р1 получения решения с заданной точностью 8 в зависимости от числа испытаний n при различных p приведены в таблице 3.1.

'аблица 3.1 - Оценка точности поиска

Например, если p = 8 /(b - a)=0.01, то вероятность получения решения с точностью 8 при числе испытаний n = 100 равна 0.634; при n =200 - 0.866; при n = 500 - 0.993; при n = 1000 - 0.99996, т.е. требуется 10 (b - a) /8 испытаний для надежного решения (Р1> 0.9999) с заданной

66

Среди численных методов различают методы нулевого порядка и градиентные (1-го и 2-го порядка). Первые основаны на вычислениях только значений оптимизируемой функции. Вторые используют частные производные соответствующего порядка. Эффективность процедуры поиска оптимума (возможность отыскания решения и скорость сходимости к решению) зависит от применяемого метода оптимизации и вида целевой функции.

Наиболее известны следующие методы нулевого порядка:

координатного спуска - поочередная оптимизация переменных вдоль осей одним из известных одномерн^1х методов (одна из реализаций - метод Гаусса-Зейделя на основе шагового метода);

координатного спирального спуска; вращающихся координат (метод Розенброка); конфигураций; Хука-Дживса с поиском по образцу;

параллельных касательных (метод Пауэлла); Нелдера-Мида - поиска по деформируемому многограннику за счет его отражения,

растяжения и сжатия и др.

Наиболее известными являются такие градиентные методы как наискорейшего спуска и Давидона-Флетчера-Пауэлла (ДФП) с использованием кубической интерполяции.

Для случайного поиска применяются метод с пересчетом, метод с парными пробами, метод по наилучшей пробе и др.

Эффективная оптимизационная процедура должна успешно решать тестовые задачи, в качестве которых применяются:

функция Розенброка

f ( x 1 , x 2 ) = 100(x2 - x 2 ) 2 + (1 - x 1 ) 2

Хп = (1; 1);

функция Пауэлла

f(X) = (x1 + 1 0 x 2 ) 2 + 5 (x 3 - x 4 ) 2 + ( x 2 - 2 x 3 ) 4 +10 (x1 - x 4 ) 4

Х п = (0; 0; 0; 0); двумерная экспоненциальная функция :

f(xi,x2) = ]Г ( ( e - k x l - e - k x r ) - (e - k - e - 1 0 k )) 2 ,

i=1

при k = 1 Хп = (1;10).

Один из методов нулевого порядка - метод координатного спирального спуска основывается на поочередном приближении к решению с текущим значением шага по всем оптимизируемым переменным (рисунок 3.12). Если с текущим шагом в данном направлении поиска по всем переменным происходит "ухудшение" целевой функции, то шаг уменьшается и направление поиска меняется на противоположное. Коэффициент aш рекомендуется принимать равным 0.25 - 0.40. Вычисления продолжаются до тех пор, пока шаг по модулю не станет равным или менее заданной точности решения. Алгоритм метода координатного спирального спуска приведен ниже.

Метод координатного спирального спуска недостаточно эффективен для поверхностей с "оврагами", так как в этом случае получение решения с требуемой точностью не гарантировано. Это вызвано тем, что в случае "оврага", повернутого относительно осей,

69