Математические модели в транспортных системах-1

освобождается немедленно для обслуживания поступившего требования с более высоким приоритетом.

Шкала приоритета может быть построена исходя из каких-то внешних относительно системы обслуживания критериев или на показателях, связанных с работой самой системы обслуживания. Практическое значение имеют следующие типы приоритетов:

разделение входящих требований по категориям приоритетности в зависимости от их источников;

приоритет у требований с наименьшим временем обслуживания. Эффективность данного приоритета может быть показана на следующем примере. Поступили последовательно два требования с длительностью обслуживания соответственно 6,0 и 1,0 ч. При приеме их на обслуживание освободившимся каналом в порядке поступления простой составит для 1-го требования 6,0 ч и для второго - 6,0+1,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 13,0 ч. Если второе требование принять на обслуживание первым, то его простой составит 1,0 ч и простой другого- 1,0+6,0 = 7,0 ч или суммарно для двух требований 8,0 ч. Общее сокращение простоев требований в системе от принятия приоритета для второго требования составит 5,0 ч (13-8);

приоритет у требований с минимальным отношением времени обслуживания к мощности (производительности) источника требования, например, к грузоподъемности автомобиля.

Механизм обслуживания характеризуется параметрами отдельных каналов обслуживания, пропускной способностью системы в целом и другими данными об обслуживании требований. Пропускная способность системы определяется числом каналов (аппаратов) и производительностью каждого из них.

Производительность каждого отдельного канала (аппарата) определяется длительностью обслуживания одного требования или интенсивностью потока обслуженных требований - средними значениями и законом распределения.

В зависимости от организации работы механизма обслуживания системы могут следующих разновидностей:

-одноканальные (система состоит из одного канала) или многоканальные (система состоит из двух и более параллельных каналов), в том числе с постоянным или переменным числом каналов;

-однофазные, когда полный цикл обслуживания производится одним аппаратом, или многофазные, когда обслуживание производится в последовательных аппаратах и соответственно в канале может находиться несколько требований. Очередь требований перед каждым аппаратом может не разрешаться или ограничиваться;

-с обслуживанием в аппаратах одиночных или групп требований;

-с комбинациями параллельных и последовательных каналов и аппаратов (сети СМО);

-с каналами или аппаратами обслуживания, имеющими одинаковые или различные

средние значения и законы распределения времени обслуживания;

-с приоритетом отдельных параллельных каналов и без приоритета. В системах без приоритета возможна очередность загрузки каналов по различным правилам: первым освободился - первым загружается; последним освободился - первым загружается (например, при длительной подготовке к возобновлению обслуживания); в случайном порядке, когда требование выбирает канал случайным образом из-за большого числа влияющих факторов. Приоритетность может отдаваться более производительным каналам и по другим соображениям. Требования могут выбирать канал обслуживания;

-с объединением каналов для обслуживания одного требования (взаимопомощь каналов) или раздельное обслуживание (отсутствие взаимопомощи).

Системы массового обслуживания могут быть исследованы аналитическими методами или на основе имитационного статистического моделирования. Аналитические зависимости имеются для определения параметров функционирования СМО в наиболее простых случаях, например, при простейшем потоке требований на обслуживание, экспоненциальном законе

51

Поток требований на обслуживание характеризуется средней интенсивностью L (с-1, мин-1, ч-1, сут-1) и имеет пуассоновский закон распределения. Доказано, что в этом случае интервалы между поступлениями требований распределены по экспоненциальному закону распределения. Длительность времени обслуживания требования характеризуется средней величиной toбc (потоком обслуживания v=1/toбc). Число каналов в системе - n.

Основные показатели функционирования многоканальной разомкнутой системы массового обслуживания рассчитываются по формулам:

вероятность того, что все каналы обслуживания свободны

Po = (;Zz]xk/k! + xn /((n - 1)!(n - x)))-1,

k = 0

где x = L toбc - приведенный поток, физическая сущность которого - число каналов, необходимое для обслуживания требований при детерминированных их потоке и времени обслуживания. Должно соблюдаться условие x < n;

вероятность того, что в системе находится ровно k требований

xk po /k!, если k < n

Pk = i

xkpo/C n k - n n!), если k > n

вероятность того, что все каналы заняты

Pз = xn Po/ ((n - x)(n -1)!) = n Pn/(n - x);

вероятность того, что занято ровно n каналов

Pn = x n P o / n ! ;

вероятность того, что время ожидания требованием начала обслуживания toж меньше или больше tз

P(toж > t з ) = Pз e x P ( - ( n v - L ) t з ) и л и

P(toж < t з ) = 1 - Pз e x P ( - ( n v - L ) t з ) ;

среднее число незанятых каналов обслуживания

no = Poo ^;Zi:xk(n - k)/k! ;

k = 0

среднее число требований, простаивающих в очереди на обслуживание

Moж = x n Po /(n - x)2 = x pз/(n - x) ;

среднее число требований на обслуживании

53

среднее число требований, простаивающих в очереди на обслуживание

m

Moж = Pom!/n! Z x k (k-n)/((m-k)!nk - n );

k=n+1

среднее число требований, находящихся на обслуживании

Для одноканальной замкнутой СМО (n = 1) имеют место следующие зависимости: вероятность того, что все каналы свободны

m 1

P о = ( Z xk m!/ (m-k)!) -1;

k = 0

средняя продолжительность ожидания требованием начала его обслуживания

toжт = toбc(m/(1-po)- 1)-1/х;

средняя продолжительность простоя канала в ожидании очередного требования на обслуживание

toжк = Potoбc /(1-Po);

вероятность того, что канал занят pз = 1 - po.

2) Статистическое имитационное моделирование

Статистическое имитационное моделирование основывается на генерации случайных величин, имитации функционирования системы и статистической обработке результатов моделирования. Методом моделирования может быть исследована СМО любой степени сложности.

Для проведения моделирования могут использоваться как универсальные языки программирования так и проблемно-ориентированные - GPSS, SIMULA и др.

Параметры функционирования системы оцениваются при моделировании по результатам многократного обслуживания требований (многократн^хх испытаний). При имитации работы системы случайные величины (длительность обслуживания в каналах, интервалы между поступлениями требований, время возврата требований в систему, моменты возникновения отказов каналов и их длительность и др.) получают генерацией по ранее приведенным алгоритмам в зависимости от вида распределения (закон, усечение, смещение).

Число обслуживаний (опытов) необходимо принимать таким, чтобы обеспечить оценку интересующих параметров с заданной точностью при принятой доверительной вероятности.

Таким образом, определение числа опытов производится по аналогии с расчетом размера выборки для исследования случайных величин. При этом это число рекомендуется определять в ходе моделирования на основе оценки точности рассчитываемых параметров.

Алгоритмы моделирования ранее рассмотренн^хх систем массового обслуживания приведены на рисунках 2.19 и 2.20. Число моделируемых обслуживаний определяется на основе формулы для нормального закона распределения, а в качестве интересующего показателя принята средняя продолжительность ожидания требованием начала обслуживания. Относительная точность оценивания задана равной s с односторонней доверительной вероятностью у= 0.95 (квантиль равна 1.645).

Структура алгоритмов следующая:

55

блок 2 - ввод и вывод на принтер исходных данн^хх; блоки 3-6 - формирование начальных условий моделирования;

блоки 7-10 - поиск канала (источника) с минимальным значением момента времени освобождения от предыдущего обслуживания (прибытия на обслуживание);

блоки 11-18 - имитация обслуживания требований и накопление сумм длительностей времени простоев и обслуживания;

блоки 19-21 - принятие решения об окончании моделирования или его продолжении; блок 22 - наращивание номера опыта (испытания); блоки 23-24 - вычисление средних значений параметров и вывод их на монитор

(принтер).

56