Математические модели в транспортных системах-1

s - заданная относительная точность оценки математического ожидания случайной величины.

Для определения закономерностей распределения случайных величин рассчитываются характеристики эмпирического распределения, выдвигается гипотеза о теоретическом законе

инаходятся значения его параметров, производится оценка согласованности теоретического

иэмпирического распределений.

Одним из возможных алгоритмов расчета характеристик эмпирического распределения непрерывной случайной величины является следующий:

а) по результатам наблюдения (замеров) необходимо получить заданное число n значений исследуемого параметра для процесса, явления, предмета;

б) составить интервальные статистические ряды распределения частот и частостей по значениям случайной величины:

1) найти в выборке минимальное Хм 1 п и максимальное Х м а х значения случайной величины

иразмах варьирования Х р =Х м ах - Х м 1 п;

2)определить число интервалов N разбиения случайной величины

Кп = 1 + int(3.32 lg n);

N = max (Мп; 5),

где n - размер выборки случайной величины;

3)рассчитать длину интервала h h = Хр / N ;

4)определить границы Xj (верхнюю), Xj.1 (нижнюю) и середину Xcj каждого j-го интервала распределения случайной величины (j = 1, N )

X j = Xмin + j h ; Xj-i = Xмin + ( j - 1 ) h;

Xcj = (Xj-i + Xj)/2 .

5) подсчитать число попаданий случайной величины в каждый j-й интервал (частоты Мj), для чего пересмотреть все числа x. (1 = 1, n ) относительно границ интервалов:

Мj = М j + 1 , если X j-i < xi < X j при j = 1, N-1;

Мj = М j + 1 , если X j.1 < x. < X j при j = N;

6) определить частости (эмпирические вероятности) pэj попадания значений случайной величины в каждый из интервалов путем деления соответствующих частот на объем выборки n, т.е. pэj = Мj / n. Сумма всех частот равна объему выборки

N

E M j = n ,

j = i

а сумма частостей pэj соответственно равна единице.

31

6(n - 1)

Для выбранного закона распределения определяются значения его параметров, записываются выражения для функции плотности вероятности f(x) и функции распределения F(x) исследуемой случайной величины, строятся графики функций f(x) и F(x). Для некотор^хх законов распределения ниже приведены вид функции плотности вероятности f(x) и функции распределения F(x), а также зависимости для вычисления значений параметров.

Нормальный закон распределения

f(x) = 1/(a 42^) exp(-( x-a)2 /(2a')),

где а и a - параметры закона распределения; п = 3.1415... ;

- о т

точечные оценки параметров нормального закона распределения равны: а = xм, a=S.

Логарифмически нормальный закон распределения

f(x) = 1/(xal 42^) exp(-(ln x - a l ) 2 /(2al 2 )), x>0;

x

FCx) = 1/Cxa1 >/2^) expC-Cln x - a1)2 /C2a12)) dx;

точечные оценки параметров закона распределения:

a l = V ln(1 + (S/x м )2 ) ;

a l = l n x - a l 2 / 2 .

м

Логарифмически-нормальный закон можно описать функцией плотности вероятности нормального распределения, если вместо значений х использовать их логарифмы.

Экспоненциальный закон распределения

f(x) = Л exp (-Л x) , x > 0; F(x) = 1 - exp (-Л x) , x > 0;

точечная оценка параметра закона распределения Л= 1/xм.

Закон равномерной плотности

f(x) = 1/(b-a) , a <x <b ;

F(x) = (x-a) / (b - a), a < x <b ;

точечная оценка параметра закона распределения:

a = x м - ^ J 3 ;

34

b = xм + ^ 3 .

Закон распределения Релея

f(x) = x / а р exp (-x2 / 2ар2) , x > 0; F(x) = 1-exp (-x2 / 2ар2) , x > 0;

точечная оценка параметра закона распределения:

а р = x м а / ^ Л •

Закон распределения Эрланга (гамма-распределение)

точечная оценка параметров закона распределения:

k = xj^/s и по k' принимается k как ближайшее целое (k=1, 2, 3,...); Хэ = k/ xм

Закон распределения Вейбулла f(x)= b /Л в xb"1 exp (- x b Л в ) , x > 0; F(x) = 1-exp (- x b / Л в ), x > 0;

точечная оценка параметров закона распределения:

Лв/ь r(1 + 1/b) = x м;

Л^'^Vr(1 + 2/b)- (r(1 + 1/b))2 = s.

Для усеченных и смещенных законов распределения вид функций и расчет параметров находятся в соответствии с ранее приведенными соотношениями.

Укрупненный алгоритм программы для исследования случайных величин приведен на рисунке 2.12.

Оценка согласованности эмпирического и теоретического распределений может производиться по критериям Колмогорова, Пирсона, Романовского и Мизеса-Смирнова.

По критерию Колмогорова, Пирсона и Романовского оценка считается обоснованной при выборке случайной величины не менее 100 и по критерию Мизеса-Смирнова - не менее 50. При применении критерия Колмогорова для меньшего размера выборки необходимо использовать заранее известные значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения случайной величины, а не их выборочные оценки.

Ниже приводится порядок проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения случайной величины по различным критериям.

35

Значения F(х) определяются по интегральной функции рассматриваемого закона распределения. Для нормального закона распределения значение функции распределения в точке Xj может быть определено по таблицам или на основе аппроксимации по ранее рассмотренному алгоритму или на основе численного интегрирования. Для логарифмически нормального закона распределения определение теоретических вероятностей производится аналогично как для нормального, но только относительно логарифмов x.

Вычисленное значение критерия Х необходимо сравнить с табличным х 2 у,г для заданного уровня значимости у и числа степеней свободы r. Уровень значимости у представляет собой вероятность отклонения верной гипотезы. Проверку соответствия теоретического и эмпирического распределений рекомендуется проводить при у = 0.05 - 0.1 . При больших значениях у выше требования к согласованности распределений.

Число степеней свободы определяется по формуле r = No -k-1.

После того, как по таблице квантилей распределения хи-квадрат при заданных у и r найдено х2y,r , проверяется условие х 2 < X2y,r . Если условие выполняется, то гипотеза о распределении случайной величины по рассматриваемому теоретическому закону не отклоняется.

2) Критерий Романовского

Критерий Романовского является производным от критерия х2, но не требует использования табличных значений распределения Пирсона.

По данному критерию для проверки гипотезы рассчитывается статистика R

R = ( х 2 - r)

Если параметр R > 3.0, то гипотеза о согласованности эмпирического и теоретического распределений отвергается, а если R < 3.0, то считается, что нет оснований отклонять гипотезу.

3) Критерий Колмогорова

Статистика критерия Колмогорова определяется максимальным отклонением по границам интервалов между теоретической F(Xj) и эмпирической Fэ(Xj) функциями распределения (рисунок 2.13).

Для этого для каждого значения Xj вычисляется модуль разности между эмпирической и теоретической функциями распределения abs(F (Xj)- Fэ (Xj)) и затем из всех рассчитанн^хх значений находится максимальная величина

D= max abs (F(Xj )-Fэ (Xj ))

ивычисляется значение статистики критерия Колмогорова

X = D Vn .

37

Формулы для получения случайн^хх чисел по некоторым законам распределения приведены в таблице 2.3.

Псевдослучайные равномерно распределенные числа в интервале 0. - 1.0 можно получать по различным алгоритмам или применить стандартные функции и подпрограммы языков программирования - RND (Basic), RANDOM (Pascal), RAN, RANDU (Fortran). Генерируемая последовательность может задаваться с помощью оператора, например RANDOMIZE.

а = Xм ; a = S

Наиболее распространенными способами получения псевдослучайных равномерно распределенных чисел в интервале 0. - 1.0 являются:

мультипликативный;

смешанный;

сиспользованием числа п;

сиспользованием тригонометрических функций.

40