Математические модели в транспортных системах-1

Критерий Гурвица основывается на следующем решающем правиле:

max ( k . max V ( Xi , U r ) + (1- k.)min V ( Xi , Ur )),

Xi Ur Ur

где kd - коэффициент доверия.

По критерию Гурвица предполагается, что среда находится с вероятностью kd в

Критерий Сэвиджа (критерий минимизации "сожалений") основывается на расчете "сожалений" V^ ( Xi , Ur ) , равных полезности результата V ( Xi , Ur ) при данном состоянии среды Ur относительно наилучшего решения в зависимости от стратегии Xi, определяем^хх

как max V ( Xi , U r ) :

Xi

V,( X i , U r ) = V ( X i , U r ) - max V ( X i , U r ) .

X i

К рассчитанным сожалениям применяется решающее правило

max (m^in V, ( Xi , U r ) ).

Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды неблагоприятное.

Выбор одного из вышеуказанных критериев в качестве решающего производится принимающим решение.

Пример.

Необходимо найти оптимальное число машиномест на проектируемой автомобильной стоянке. К рассмотрению приняты 3 типовых проекта на 200, 250 и 300 машиномест. Ожидаемая прибыль V(Xi,Ur) в зависимости от числа мест Xi и состояния среды (числа занятых мест) Ur задана таблично. В этой же таблице приведены вероятности возможных состояний среды р(Ur).

11

Решение.

Критерий Вальда

max(-15 для xj = 200 , -35 для x j = 250, -55 для x j = 300) = -15 ( при xj =200) .

Xi

По этому критерию от строительства следует отказаться, так как при оптимальной стратегии имеет место отрицательный эффект.

Критерий Гурвица при Kd = 0.6

max ( kd maxV ( Xi , U r ) + (1- kd) min V ( Xi , U r ) ) =

U r Ur

= max ( 0.6 • 30 + 0.4 (-15)для xj = 200;0.6 • 50 + 0.4 (-35)для x^ = 250;0.6 • 60 + 0.4 (-55)для x3 = 300).

Xi

max( 12.0 для xj = 200;16.0 для x^ = 250;14.0для x3 = 300)= 16.0( при x^ = 250).

Xi

и при Kd =1.0

max ( max V ( X i , U r)) = 60.0 (x3 = 300).

Xi Ur

Критерий Лапласа

1/4 (-35 +20+50+50)для x^ = 250; 1/4 (-55-10+45+60) для x3 = 300) = =85/4 ( при x, = 250)

Критерий Сэвиджа

Результаты расчета сожалений по ранее приведенной формуле даны в таблице вторыми строками. Например, для 1-го столбца (Ur=150) сожаления определяются по выражению

V s( X i , U j ) = V ( X i , U j ) - max V ( Xi , U1) =

12

современных систем программирования также представляют собой среду со своим головным меню, редактором, транслятором, компоновщиком (редактором связей, сборщиком), отладчиком.

Прикладное программирование подразделяется на пакеты прикладных программ и программы пользователя.

Пакеты прикладных программ охватывают инструментальные средства, интегрированные, функционально ориентированные и проблемно ориентированные пакеты.

Инструментальные средства представляют собой диагностические, тестовые, антивирусные пакеты и т. п.

Для интегрированных пакетов характерно следующее:

-совместимость записи данн^хх, дающая возможность их вызова различными средствами для различных целей;

-возможность продолжить выполнять свою функцию, если понадобилось на время переключиться на другую;

-преемственность различных типов команд и методов работы с меню. Интегрированные пакеты позволяют работать с отдельными программами, базами

данных, графикой, создавать прикладные программы, поддерживать связь с другими компьютерами. Примерами таких пакетов являются Windows Office, Lotus и др.

К функционально ориентированным пакетам относятся средства работы с текстом, обработки электронн^1х таблиц, организации баз данн^хх, поддержки интерактивной графики, функционирования экспертных систем и т.п. Примерами являются пакеты машинной графики (AutoCAD, Компос), графические редакторы (Adobe PhotoShop, CorelDraw и др.), электронные таблицы и деловая графика (SuperCalc, Exсel, QuattroPro, Grapher), СУБД (Access, Clarion, Clipper, dBase, FoxBase, FoxPro, FoxGraph, Ingres, Paradox и др.), редакционно-издательские системы (PageMaker, Ventura Publisher), анимационные (3D StudioMAX и др.), презентационные (PowerPoint).

Проблемно-ориентированные пакеты охватывают различные сферы применения: математика, экономика, транспорт, бухгалтерский учет и др. Для разнообразных задач математической статистики могут служить пакеты программ Statistica и "Олимп". Программы Matlab, Gauss, Assyst, Eurica, Maple V, Mathematica, MathCad предназначены для решения задач матричной и векторной алгебры, векторного анализа, решения систем линейных и нелинейн^1х уравнений. Некоторые из них позволяют выполнить преобразование математических выражений в символьной форме (упростить выражение или представить в другом виде), найти вид неопределенного интеграла.

Работа пользователя в пакетах производится с помощью "меню". Максимальное число альтернатив, содержащихся в "меню", различно. Обычно принимают равным 7±2 (7 - число по Миллеру).

Через меню могут запускаться программы из командного файла или из головной программы, а также ветвится выполнение программы (подпрограммы). Меню может быть одномерным, двумерным, аналогичным картотеке и представлено в виде алфавитноцифровой информации и графических изображений. Активизация функций может производиться по набору ключевого символа, по нажатию клавиш ("Ввод", функциональн^хх и др.) клавиатуры или кнопок манипуляторов ("мышки", джойстика и т.п.) при нахождении их указателя на месте соответствующего изображения.

При проектировании прикладных программ должны быть определены следующие характеристики:

1) состав исходного текста:

1.1) единый текст;

1.2) отдельные текстовые модули;

2) структура исполняемой программы:

2.1) единый модуль, полностью загружаемый в ОЗУ при запуске;

14

2.2) несколько сегментов, загружаемых в ОЗУ по мере необходимости; 2.3) резидентная часть, загружаемая в ОЗУ в начале сеанса, и одна или несколько

нерезидентных частей, загружаемых по мере необходимости; 3) Способ хранения данных на внешнем постоянном запоминающем устройстве (ВПЗУ): 3.1) все данные располагаются в одном файле; 3.2) данные распределены по нескольким файлам.

Состав исходного текста оказывает влияние на способ разработки программ, структура исполняемой программы - на требования к ОЗУ и быстродействие, способ хранения данных на ВПЗУ - на быстродействие при доступе к данным и характер использования внешней памяти.

Применение подпрограмм, процедур, функций и других отдельных программных модулей обеспечивает структурирование программ на уровне исходных текстов, объектных модулей и выполняемых программ. Под объектным модулем понимается преобразованный в машинные коды (транслированный) текст программы. Может применяться подстановка - включение перед трансляцией в текст основной программы текстов других модулей. Исходные тексты модулей могут формироваться в виде библиотек. Отдельные модули можно также транслировать независимо друг от друга и связывать только на стадии компоновки исполняемой программы (загрузочного модуля). Выполняется сборка программы с помощью редактора связей (компоновщика). При таком подходе к программированию создаются библиотеки объектных модулей. В системах программирования могут иметься библиотеки стандартн^хх процедур (функций и подпрограмм).

При создании перекрывающихся (оверлейных) сегментов программа состоит из отдельных частей, которые при ее выполнении загружаются в ОЗУ по мере необходимости. Корневой сегмент находится постоянно в ОЗУ. Он содержит обращения к процедурам, находящимся в оверлейных сегментах. Сегменты могут быть связаны в сложные древовидные структуры. Быстродействие системы падает из-за потерь времени на перезагрузку сегментов с внешнего накопителя.

Отдельные модули пакетов обычно создают (выделяют) по функциональному принципу: ввод данных, корректировка данных, расчетная часть, графическое представление результатов, вывод (печать) результатов.

Межмодульный информированный обмен может осуществляться через общие области ОЗУ и файлы на ВПЗУ. В случае необходимости обмена при разнесенном во времени исполнении программ или модулей применяется обмен через файлы на ВПЗУ.

Достоверность программного обеспечения отрабатывается и проверяется на контрольных примерах. Тестирование должно быть произведено для всех возможных вариантов расчетов и значений исходных данных. При наличии ограничений на исходные данные об этом должно сообщаться пользователю. Документация на программные продукты должна отвечать стандартам Единой системы программной документации (ЕСПД).

15

Таким образом, на каждом этапе таких последовательных преобразований получаем понижение числа переменных (на последнем этапе до одной):

a1 1 x1 + ... + a1 i xi + ... + a1 p xp = b1 a'2 2 x1 + ... + a'2 i xi + ... + a'2 p xp =b'2

хр = Ь'Р ,

где штрихом обозначены значения коэффициентов после преобразований.

Значение свободного члена для уравнения с одной переменной дает решение, например по переменной хр ( Х Р = Ь ' Р ) , Затем из одного из уравнений системы предпоследнего этапа находится хр.1 и т.д., для 1-го этапа - x2 и из исходной системы - х1. Разновидность - метод Гаусса с выбором главного элемента.

Метод Крамера основан на матричном исчислении и наиболее удобен с точки зрения составления алгоритма и его программной реализации на компьютере.

По методу Крамера

X = A"1 B

или

xi = det Ai / det A ,

где А -1 - матрица, обратная матрице А;

Ai - матрица, полученная по матрице А с заменой в ней i- го столбца столбцом свободных членов (aji = bj), j = 1, p;

det - детерминант (определитель) матрицы.

Если det A равен нулю, то система не определена. При значениях det A близких к нулю система слабо обусловлена.

2.1.2. Решение систем нелинейных уравнений

Задача состоит в нахождении корней следующей системы уравнений

f i(X) = 0 }, i = 1, m ,

где X = { x1, x2,...,xm}.

Для решения могут применяться следующие методы:

-метод простых итераций;

-метод Зейделя, отличающийся от метода простых итераций тем, что уточненные значения xi сразу подставляются в последующие уравнения;

-на основе методов поиска экстремума многомерных функций и др.

Метод простых итераций состоит в реализации процесса по следующей формуле:

x i (k+1) = Fi(Xk),

где Fi(X) = fi(X) + xi =xi; i - номер переменной; k - номер итерации.

Итерации выполняются до тех пор, пока сохраняется хотя бы по одному из x i условие

17