Математические модели в транспортных системах-1

Для расчета необходимо произвести правильную нумерацию событий, т.е. для любой работы ij номер предшествующего события i должен быть меньше номера последующего события j.

Алгоритм вычислений

1) Присваивается исходному событию начальный, например, нулевой момент времени раннего срока свершения Тр1=1=0;

2) Последовательно для каждого события j = 2, m рассчитываются:

где Bj - множество событий i, соединенных работами с j- м событием.

3)Критическое время, представляющее минимальный период времени в течение которого может быть выполнен весь процесс сетевого графика, tкр = Трш .

4)Определяется критический путь. Это путь, продолжительность которого равна критическому времени, и который включает работы, определяющие критическое время.

5)Поздний срок свершения завершающего события принимается равным критическому

tкр или заданному директивному времени t д и р (tд и р > tкр ):

Т П Ш = t к р и л и Т П Ш = t д и р .

6) Последовательно для каждого пункта 1 = m -1, 1,-1 рассчитываются:

ТП.Н;- = ТП- - 1 ij•'

Т п1 = m i n ТП.Н1-,

где A. - множество событий j, соединенных работами с 1-м событием. В результате находятся Тп., 1 = 1, m.

7) Рассчитываются резервы времени событий

Ri = Тп- - Тр1.

8)Рассчитываются полные резервы времени работ - максимальное время на которое можно отсрочить или увеличить продолжительность работы ij, не изменяя установленного позднего срока наступления завершающего события

R п i j = Тп- - Т р . о 1 - = Тп- - Т р 1 - t j j .

9) Рассчитываются свободные резервы времени работ - максимальное время на которое можно отсрочить или увеличить продолжительность работы ij, при условии, что все события будут выполнены в свои ранние сроки

R c i j = Т р - " Т р . о 1 - = Т р - " Т р 1 ^ t i j .

Величина свободного резерва меньше или равна величине полного резерва (Rcij < R п i j j .

10) Полный резерв времени интересующих альтернативных путей определяется как разность между длиной критического пути и длиной любого другого полного пути tl

Ri = tкр - ti .

123

Пример.

Рассчитать параметры приведенного выше сетевого графика. Директивное время принять равным критическому пути.

Решение.

1)^1=1=0;

2.1) j=2

ieBj ieBj

Результаты расчетов сведены в таблице 3.31.

3 ) tкp = T p m = 2 4 .

4)Критический путь включает работы, определяющие критическое время (работы 1-2, 2- 3, 3-4, 4-6).

5)Tпm = (кр = 24 (да=6).

Т п . н 4 ,5 = Т п 6 - t 4 , 6 = 2 4 - 1 1 = 1 3

124

Метод детализации применяют в случае, если отдельные работы можно разделить на элементы с последующим изменением их топологии.

3.11. Состязательные задачи

Состязательные задачи (игры) могут быть:

по вариантности стратегий - с "чистой" (применяется одна из возможных стратегий) или смешанной (если применяется несколько стратегий);

по числу применяемых стратегий - на конечные и бесконечные; по количественному результату - с нулевой или ненулевой суммой (разностью);

по характеру взаимоотношений игроков - некооперативные (антагонистические) и кооперативные (коалиционные);

по числу сторон - двух или многих игроков; по характеру протекания - непрерывные и дискретные;

по количеству информации у сторон - с полной, с вероятностной или с отсутствием, в т. ч. игры с природой, когда партнера заменяет среда, безразличная к действиям игрока.

Простейшей и наиболее разработанной является теория "матричных" игр двух сторон с нулевой суммой.

Исходные данные задаются в виде матрицы выигрышей cij (таблица 3.33).

В этом примере сторона А имеет три возможные стратегии А1, А2, A3, а В - четыре (В1, В2, В3, В4). Сторона А не знает, как поступит сторона В, однако действуя наиболее целесообразно, она должна выбирать стратегию А2, которая гарантирует ей наибольший (11) из трех наименьших выигрышей (10,11,9).

Принято называть, что сторона руководствуется принципом максиминного выигрыша:

a= max (min cij) .

ij

Определяемая таким образом величина (а) называется нижней ценой игры, максиминным выигрышем или максимином. Для приведенного примера а=11.

Если рассуждать аналогично, то сторона В должна выбирать стратегию В1, которая гарантирует ей наименьший (12) из четырех возможн^хх наибольших проигрышей, т.е. она руководствуется принципом максиминного проигрыша:

b = min(maxc1j)

j

Величина (b) называется верхней ценой игры, или минимаксом. Для приведенного примера b=12.

Справедливо, что b>a.

Такая стратегия сторон называется принципом минимакса или принципом осторожности.

126

Если а = в, то такая точка называется седловой. Рациональные правила поведения сторон:

1. Если известна стратегия стороны В, то сторона А должна выбрать стратегию А1, которая дает максимальный выигрыш.

2.Если стратегия стороны В неизвестна, то сторона А должна воспользоваться своей максиминной стратегией.

3.Если стратегия стороны В неизвестна, но игра имеет седловую точку, то наиболее выгодно для стороны А не отклоняться от седловой точки.

Если матрица игры не имеет седловой точки, то оказывается, что для определения успеха необходимо выбирать стратегии сторон А и В с определенными вероятностями (частотами) при многократной игре. Такие стратегии называются смешанными.

Решение игровых задач в смешанных стратегиях осуществляется по итеративным алгоритмам Брауна или Неймана или сводится к задаче линейного программирования.

Воснове алгоритма Брауна (фиктивной игры) лежит предположение, что игра играется много раз, а стороны выбирают свои стратегии, руководствуясь опытом ранее сыгранных партий.

Если считать, что выполнено k итераций и в результате получены оценки смешанных стратегий Ас = (А1, А2, ..., А^) стороны А и Бс = (B1, B2, ..., Б^) стороны В, то на очередной итерации стороной А выбирается такая "чистая" стратегия, которая обеспечит ей максимум в предположении, что сторона В применит смешанную стратегию Bc. Аналогично сторона В применяет "чистую" стратегию, которая дает минимум выигрыша стороне А, если последней будет использована смешанная стратегия Ac.

Для парной игры обозначим вероятность применения стратегии А1 через pi, а Bj через qj (Ai - стратегия стороны А, Bj - стратегия стороны В).

Сумма вероятностей всех стратегий для каждой из сторон равна 1. Тогда

где m и n - соответственно число различных стратегий сторон А и В.

Для поиска оптимума необходимо взять частные производные и приравнять их к нулю:

dZ = 0, 1 = 1,m: dpi

dZ = 0, 1 = 1,n.

^ p j

Решение может быть получено реализацией итерационного процесса путем многократного имитационного моделирования игры. Например, следующей стратегией стороны А для приведенного примера является стратегия А2, дающую максимум при стратегии противоположной стороны В1, а сторона В применит стратегию В3, которая дает минимум выигрыша стороной А при ее предыдущей стратегии А2. При третьей итерации сторона А должна применить стратегию А1, дающую максимум выигрыша (11+13=24) при предыдущих стратегиях (В1,В3) противоположной стороны, а стороне В необходимо

127

4.Геронимус, Б.Л. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте / Б.Л. Геронимус, Л.В. Царфин. - М.: Транспорт, 1988. - 192 с.

5.Зайченко, Ю.П. Исследование операций / Ю.П. Зайченко. - Киев: Вища шк.,1988. - 549 с.

4.Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - М.: Высш.шк., 2003. - 479 с.

5.Гринчишин, Я.Т. Алгоритмы и программы на Бейсике / Я.Т. Гринчишин, В.И. Ефимов, A.Н. Ломакович. - М.: Просвещение, 1988. - 160 с.

6. Дайитбеков, Д.М. Программное обеспечение статистической обработки данных / Д.М. Дайитбеков, О.В. Калмыкова, А.И. Черепанов. - М.: Финансы и статистика, 1984. - 192 с.

7.Дьяконов, В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональн^1х ЭВМ / В.П. Дьяконов. - М.: Наука,1987. - 240с.

8.Задания и методические указания к контрольным работам по дисциплине «Математические модели в расчетах на ЭВМ» для студентов специальностей 24.01 и 24.04 / B.Н. Седюкевич, Д.В. Рожанский. - Минск: БГПА, 1992. - 38 с.

9.Исследование операций: В 2-х томах / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. - М.: Мир, 1981. Т.1 -712 с., Т. 2 - 677 с.

10.Кожин, А.П. Математические методы в планировании и управлении грузовыми автомобильными перевозками / А.П. Кожин - М.: Высш.шк., 1979. - 304 с.

11. Кудрявцев, Е.М. Исследование операций в задачах, алгоритмах и программах / Е.М. Кудрявцев. - М.: Радио и связь, 1984. - 184 с.

12.Кузнецов, А.В. Руководство к решению задач по математическому программированию / A.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич. - Минск: Выш.шк., 2001. - 448 с.

13.Лабораторные работы по дисциплине «Математические модели в расчетах на ЭВМ» для студентов спец. 24.01- «Организация перевозок и управление на транспорте» и 24.04- «Организация дорожного движения» / В.Н. Седюкевич, Д.В. Рожанский. - Минск: БГПА, 1993. - 76 с.

14.Сакович, В. А. Исследование операций (детерминированные методы и модели): Справочное пособие / В. А. Сакович. - Минск: Выш. шк., 1985. - 256 с.

15.Советов, Б.Я. Моделирование систем / Б.Я.Советов, С.А.Яковлев. - М.: Высш.шк.,1985. -271 с.

16.Таха, Х. Введение в исследование операций. Пер.с англКн.1 и Кн. 2. / Х. Таха. - М.: Мир,1985. - 479 с. и 496 с.

17.Харин, Ю.С. Основы имитационного и статистического моделирования / Ю.С. Харин, B.И. Малюгин, В.П. Кирлица. - Минск: ДизайнПро, 1997. - 288 с.

18.Гладков, Л.А. Генетические алгоритмы / Л.А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик; под ред. В.М. Курейчика. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 320 с.

130