Математическая статистика-1

3.3.3. Найти с надежностью 0,99 доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения по данным выборки:

а)

41

Занятие 4.

Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова

4.1. Краткие теоретические сведения

Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения СВ или о значениях параметров из-

вестного вида распределения. Нулевой гипотезой H0 называется

выдвинутая гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называет-

ся гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе.

При проверке статистической гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода – будет отклонена верная гипотеза. Ошибка второго рода – будет принята неверная гипотеза.

Вероятность допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости. Для проверки статистической гипотезы используют специальную статистику, которая называется критерием. По рассчитанному значению критерия определяют принимать или отвергать нулевую гипотезу. Критерий согласия – это проверка гипотезы о виде распределения СВ.

Основными критериями согласия являются критерии Пирсона 2

и Колмогорова.

При проверке гипотезы с помощью критерия Пирсона поступают следующим образом:

– из генеральной совокупности извлекают выборку объемом n;

– по выборке вычисляют xв и в;

– переходят к нормированной СВ по формуле Ui xi xв ;

в

– находят вероятности попадания в интервал Ui , Ui 1 ,

i Ui 1 Ui ;

–вычисляют теоретические частоты mi nPi ;

42

– из таблицы критических точек распределения Пирсона (прил. 3) по уровню значимости и числу степеней свободы k 1 r

определяют 2кр, где k – число интервалов в вариационном ряде;

r – количество параметров закона распределения, которые оцениваются по выборке (для нормального закона r 2 );

–если 2набл 2кр, то нет необходимости отвергать нулевую гипотезу, т. е. эмпирические и теоретические частоты согласуются;

–если 2набл 2кр, то гипотеза отвергается, т. е. расхождение

между теоретическими и эмпирическими частотами существенно. Если исследуется дискретная СВ, распределенная по нормаль-

ному закону, то теоретические вероятности определяются по фор-

Задача 4.1.1. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном

распределении генеральной совокупности с данными выборки.

43

Определим число степеней свободы:

k 1 r 7 1 2 4 .

По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы 4

найдем критическую точку правосторонней критической области распределения Пирсона (прил. 3):

2кр 2 0,05; 4 9,5.

Так как 2набл 2кр, то гипотеза о нормальном распределении совокупности отвергается.

Критерий согласия Колмогорова применяется для проверки гипотезы о законе распределения непрерывной СВ. Для статистической проверки гипотезы с помощью критерия согласия Колмогорова поступают следующим образом:

–выбирают из генеральной совокупности выборку;

–по выборке составляют эмпирическую функцию распределе-

ния F* x ;

–записывают теоретическую функцию распределения F x ;

–вычисляют величину D max F* x F x ;

45

i

могорова;

–находим по уровню значимости (прил. 7);

–если , то гипотеза о законе распределения СВ откло-

няется;

– если , то нет оснований отклонять нулевую гипотезу.

Рассмотрим применение критерия Колмогорова на примере. Задача 4.1.2. Проверить по критерию Колмогорова гипотезу

о нормальном распределении СВ по данным выборки при уровне значимости 0,05.

Решение

Вычислим выборочную среднюю xв и исправленное среднее квадратическое отклонение s.

46

Тогда теоретическая функция распределения в предположении, что СВ распределена по нормальному закону, имеет вид:

где x – функция Лапласа.

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле:

D 0,1056.

47

Вычислим статистику Колмогорова:

По уровню значимости 0,05 найдем по таблице (прил. 7)

1,358.

Т. к. , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.

4.2.Задачи для аудиторной работы

4.2.1.Используя критерий Пирсона, при уровне значимости установить случайно или значимо расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами, которые вычислены исходя из гипотезы о нормальном распределении СВ.

(Случайно) 4.2.2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распре-

делении совокупности с данными выборки.

(Согласуется)

48

б)

(Согласуется) 4.2.3. Наблюдения за межремонтными интервалами Т (в меся-

цах) работы зерноуборочного комплекса дали результаты:

Проверить при уровне значимости 0,01 с помощью критерия Колмогорова гипотезу о показательном распределении совокупности.

(Согласуется)

4.2.4. Даны результаты измерения 1000 деталей.

При уровне значимости 0,05 проверить с помощью критерия

Колмогорова, согласуются ли данные выборки с гипотезой о нормальном распределении.

вычислены в предположении, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

(Значимо) 4.3.2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распре-

делении совокупности с данными выборки.

(Не согласуется) 4.3.3. При уровне значимости 0,05 с помощью критерия Кол-

могорова проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении СВ с данными выборки.

(Согласуется)

50