Математическая картография

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПАЛЕТКАМИ

В основе определения площадей на бумажном носителе палетками лежит геометрический способ определения площадей элементарных фигур (квадрата, треугольника, трапеции). Чаще всего используют палетки квадратные, параллельные и точечные (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Палетки:

а– квадратная; б – параллельная; в – точечная квадратная;

г– точечная гексагональная

Квадратная палетка представляет собой сетку квадратов в зависимости от сложности контура со стороной 2–10 мм (рис. 2.1, а). Определение площади состоит в подсчете числа квадратов по палетке, которая накладывается на контур. Части неполных квадратов оцениваются на глаз и суммируются. Площадь контура определяется по формуле

11

P a2n M 2 ,

где a – сторона квадрата в масштабе карты; n – количество квадратов;

M – масштаб карты в километрах.

Параллельная палетка представляет собой серию параллельных линий, проведенных с одинаковым интервалом 2–5 мм (рис. 2.1, б). Определение площади основано на вычислении площади трапеции. Палетка накладывается на контур так, чтобы крайние точки контура находились точно посредине между линиями. В таком случае прочерченные линии будут представлять собой средние линии трапеции. Сущность определения площади сведется к измерению длин средних линий циркулем-измерителем. Площадь вычисляется по формуле

P l h M 2 ,

где l – сумма длин линий;

h – интервалы между линиями; M – масштаб карты в километрах.

Точечную квадратную палетку можно представить как видоизмененную квадратную палетку, где каждая точка представляет собой центр квадрата (рис. 2.1, в). Количество точек легче подсчитать, чем количество квадратов. Если точка находится на контуре, то она берется с весом 0,5, т. е. две точки, находящиеся на контуре, считаются за одну. Площадь, как и для квадратной палетки, вычисляется по формуле

P a2n M 2 ,

где a – расстояние между точками; n – количество точек;

M – масштаб карты в километрах.

В точечной гексагональной палетке точки представляют собой вершины равносторонних треугольников (рис. 2.1, г). Геометрическая фигура, которая описывает точку, представляет собой правильный шестиугольник. Гексагональная палетка предпочтительнее то-

12

чечной квадратной, т. к. образуемые точки лучше вписываются в неправильные контуры, которые представляют собой большинство географических объектов. Площади при применении гексагональной палетки вычисляются по формуле

P R2n 3 0,866R2n M 2 , 2

где R – расстояние между точками; n – количество точек в контуре; M – масштаб карты в километрах.

Точность вычисления площадей палетками зависит от расстояния между линиями и точками, т. е. от площади элементарных фигур, образуемых ими. Надо помнить, что чем меньше расстояние между точками или линиями, тем утомительнее работа. В целом точность определения площадей с помощью палеток не ниже точности планиметрирования, а для малых контуров – даже выше. При прочих равных условиях большую точность измерения площадей обеспечивают сетки параллельных линий и точечные.

Методика измерения площадей палетками несложная. Палетка накладывается на контур, и работа сводится к подсчету количества квадратов, точек или длин линий. Для избежания грубых ошибок измерения следует проводить дважды, для чего квадратную и квадратную точечную палетку поворачивают на 45º, а параллельную и гексагональную – на 90º.

Задание. Измерение площадей палетками.

Цель задания: изучить способы измерения площадей по картам, приборы и приспособления, применяемые для измерения площадей, и научиться квалифицированно применять их на практике.

Выполнение задания.

Для одного из районов Беларуси измерить его площадь, используя разные виды палеток, по карте «Республика Беларусь» масштаба 1:500 000. Вычислить относительную ошибку определения площади района, используя в качестве теоретической площади данные из табл. 2.1. Для измерения площадей могут быть предложены другие географические объекты и карты.

13

14

15

16

Указания к выполнению задания

1.Изучить методику измерения площадей, изложенную в данном пособии.

2.Выполнить измерения географического объекта, используя одну из палеток.

3.По данным измерений выполнить расчет площади объекта.

4.Вычислить относительную ошибку определения площади района палеткой, используя в качестве теоретической площади данные из табл. 2.1.

5.Сделать выводы о точности определения площади разными палетками.

Пример выполнения задания

Измерить площадь Гродненского района Гродненской области по карте «Республика Беларусь» масштаба 1:2 000 000 палетками.

При измерении площадей палетками использована параллельная (интервал между параллельными линиями 4 мм) и точечная гексагональная (расстояние между точками 4 мм) палетки.

При измерении параллельной палеткой сумма измеренных параллельных линий равна 167,1 мм, а при повороте на 90º – 161,4 мм.

17

Тогда площадь Гродненского района, измеренная параллельной палеткой, равна:

P1 l h M 2 16,71 см 0,4 см 202 км 2673,6 км2;

При измерении точечной гексагональной палеткой количество точек в контуре равно 48, а при повороте на 90º – 46. Тогда площадь Гродненского района, измеренная точечной гексагональной палеткой, равна:

P1 0,866 R2 n M 2 0,866 0,42 см 48 202 км 2660,352 км2;

P1 0,866 R2 n M 2 0,866 0,42 см 46 202 км 2549,504 км2;

Определим точность измерения площади параллельной и точечной гексагональной палетками, для чего вычислим абсолютные и относительные ошибки.

Площадь Гродненского района, взятая из табл. 2.1, равна

2594,05 км².

При измерении параллельной палеткой:

fабс. Pпар. Pтеор. 2628 км2 2594,05 км2 33,95 км2;

18

При измерении точечной гексагональной палеткой:

Таким образом, относительные ошибки измерения параллельной и точечной гексагональной палетками площади Гродненского района составили соответственно 1/76,41 и 1/238,47, или 1,3 % и 0,4 %. Из результатов вычислений следует, что измерение площади точечной гексагональной палеткой дает более близкое значение к действительной площади данного района.

19

Лабораторная работа № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСКАЖЕНИЙ В КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ

Наличие искажений в картографических проекциях, применяемых для географических карт, неизбежно, так как земная поверхность, имеющая форму сфероида, не может быть развернута в плоскость без деформаций: в одних местах возникают разрывы, для устранения которых необходимо равномерное растяжение, в других – перекрытия, требующие равномерного сжатия. Отсюда следует, что на всех географических картах всегда имеются линейные искажения, и масштаб вообще является величиной переменной, меняющейся с изменением места и направления. Наличие искажений длин линий ведет к искажению углов, площадей и форм.

Различают два вида масштаба длин: главный масштаб, который подписывается на карте, представляющий степень уменьшения поверхности земного эллипсоида перед последующим изображением его на плоскости и сохраняющийся в зависимости от применяемой картографической проекции в некоторых точках или линиях, называемых точками и линиями нулевых искажений; частный масштаб, представляющий отношение бесконечно малого отрезка ds в данной точке и по данному направлению к соответствующему

бесконечно малому отрезку dS на эллипсоиде, т. е. M ddSs . Отно-

шение частного масштаба к главному характеризует искажение длин в данной точке. Иногда в качестве показателя линейных искажений берут не значение частного масштаба, а его отличие от главного, который для данной карты принимается за единицу. При этом величину искажения можно выразить в процентах. Например,

пусть M 1,45, тогда M 1 0,45100 % 45 % . Из всех частных

масштабов, рассматриваемых в картографии, наибольшее значение имеют масштабы по меридиану m и параллели n.

Главный масштаб площадей показывает, во сколько раз уменьшены площадные размеры поверхности эллипсоида при ее отображении на карте. Частный масштаб представляет отношение бесконечно малой площади на карте к соответствующей бесконечно малой

20